Analytische getaltheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Binnen de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, maakt de analytische getaltheorie gebruik van methoden uit de wiskundige analyse om getaltheoretische problemen op te lossen. [1] Men stelt vaak dat de analytische getaltheorie zijn begin vindt in de introductie door Dirichlet van de zogenaamde Dirichlet-L-functies. Dirichlet gebruikte deze constructie om daarmee het eerste bewijs voor zijn stelling over rekenkundige rijen. te geven[2] [1] Een andere belangrijke mijlpaal in de analytische getaltheorie was aan het eind van de negentiende eeuw de priemgetalstelling.

Ruwweg kent de analytische getaltheorie twee belangrijke aandachtsgebieden. De "multiplicatieve getaltheorie" houdt zich bezig met de verdeling van priemgetallen. Hierbij worden vaak Dirichlet reeksen gebruikt als voortbrengende functies. Er wordt van uitgegaan dat deze methoden uiteindelijk van toepassing zullen zijn op de algemene L-functie, hoewel deze theorie nog grotendeels onbewezen is. De "additieve getaltheorie" kent als typische problemen bijvoorbeeld het vermoeden van Goldbach en het probleem van Waring.

De ontwikkeling van de analytische getaltheorie hangt nauw samen met de voortdurende verbetering van wiskundige technieken. De cirkelmethode van Hardy en Littlewood werd oorspronkelijk opgesteld als van toepassing op machtreeksen in de directe omgeving van de eenheidscirkel in het complexe vlak, maar wordt nu gezien in termen van eindige exponentiële sommen (dat wil zeggen op de eenheidscirkel, maar met afgebroken machtreeksen). De Diophantische benaderingsmethoden hebben behoefte aan hulpfuncties die niet tevens genererende functies zijn - hun coëfficiënten worden geconstrueerd door gebruik te maken van het duiventilprincipe - en hierbij zijn meer dan één complexe variabelen benodigd. De gebieden van de diophantische benadering en de transcendentietheorie hebben zich recentelijk uitgebreid tot het punt dat de ontwikkelde technieken ook worden toegepast op het vermoeden van Mordell.

De grootste technische verandering sinds 1950 betreft de ontwikkeling van de zeefmethoden[3] als een hulpmiddel, in het bijzonder voor multiplicatieve problemen. Deze problem zijn in essentie combinatorisch van aard en zeer gevarieerd. Ook veel geciteerd zijn toepassingen op het gebied van de "probabilistische getaltheorie"[4] - vormen van beweringen over willekeurige verdelingen van de priemgetallen, bijvoorbeeld: de verdeling van de priemgetallen is volstrekt willekeurig. Tegelijkertijd is de extreme tak van de combinatoriek sterk beïnvloed door de waarde die de analytische getaltheorie hecht aan het kwantitificeren van bovenste en onderste grenzen.

Een recente doorbraak in de analytische getaltheorie is het bewijs van Green en Tao over het bestaan van willekeurig lange rekenkundige rijen in de priemgetallen.

Voetnoten[bewerken]

  1. a b Pagina 7 van Apostol 1976
  2. Pagina 1 van Davenport 2000
  3. Pagina 56 van Tenenbaum 1995
  4. Pagina 267 van Tenenbaum 1995