Probleem van Waring

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor iedere macht k een getal s is zodat ieder getal te schrijven is als som van s niet-negatieve machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.

Het getal g(k)[bewerken]

Voor ieder getal k definiëren we de kleinst mogelijke s als g(k) De Vier-kwadratenstelling van Lagrange zegt dat ieder getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Drie kwadraten is niet mogelijk aangezien 7 = 4+1+1+1. Zo heeft 23 negen derde-machten nodig.

Euler veronderstelde dat g(k) = 2k+[(3/2)k]-2, waarbij [x] het gehele deel van x is (zie floorfunctie). Tegenwoordig zijn de meeste g(k)'s bekend:

g(k) = 2k + [(3/2)k] – 2 als 2k{(3/2)k} + [(3/2)k] ≤ 2k
g(k) = 2k + [(3/2)k] + [(4/3)k] – 2 als 2k{(3/2)k} + [(3/2)k] > 2k en [(4/3)k][(3/2)k] + [(4/3)k] + [(3/2)k] = 2k
g(k) = 2k + [(3/2)k] + [(4/3)k] – 3 als 2k{(3/2)k} + [(3/2)k] > 2k en [(4/3)k][(3/2)k] + [(4/3)k] + [(3/2)k] > 2k.

Het getal G(k)[bewerken]

Nog belangrijker dan g(k) is het getal G(k), dit is het getal zodat ieder voldoende groot getal kan worden geschreven als som van s k-de machten. Dit wil zeggen dat er een getal q is zodat ieder getal groter dan q zo kan worden geschreven.

Ondergrens voor G(k)[bewerken]

Het getal G(k) is groter dan of gelijk aan:

  • 2r+2 als k = 2r met r ≥ 2, of k = 2r3;
  • pr+1 als p een priemgetal groter dan 2 is en k = pr(p-1);
  • (pr+1-1)/2 als p een priemgetal groter dan 2 is en k = pr(p-1)/2;
  • k + 1 voor alle getallen k > 1.

Bovengrens voor G(k)[bewerken]

De volgende bovengrenzen zijn bekend voor G(k):

k          3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20
G(k) =<    7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142