Symmetrie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Figuur met zowel draaisymmetrie als spiegelsymmetrie.

Men spreekt van symmetrie (Grieks: συν, samen en μετρον, maat) bij een object als twee helften van het object in een bepaalde zin elkaars spiegelbeeld zijn. Dit spiegelen kan ten opzichte van een punt, een lijn of een vlak zijn. Men spreekt ook van symmetrie als een andere isometrie het object op zichzelf afbeeldt.

  • De letter A is symmetrisch ten opzichte van de verticale as.
  • De letter B is dat ten opzichte van de horizontale as.

Symmetrie in de meetkunde[bewerken]

In de meetkunde zijn er verschillende soorten symmetrie, onder andere:

Men spreekt van draaisymmetrie als een figuur hetzelfde blijft wanneer het over een bepaalde hoek wordt geroteerd (uiteraard minder dan een hele draai).

Puntsymmetrie is een bijzondere vorm van draaisymmetrie. Men spreekt van puntsymmetrie als een tweedimensionale figuur op zichzelf wordt afgebeeld door te spiegelen in een punt, wat hetzelfde is als dat hij wordt geroteerd over 180° om dat punt.

Bij spiegelsymmetrie is er een spiegelas waarin de figuur gespiegeld wordt.

Bolsymmetrie of sferische symmetrie treedt op in drie dimensies als een grootheid alleen afhangt van de afstand tot een middelpunt. Een bolsymmetrisch object is isomorf met de (rotatie)groep SO(3). Cirkelsymmetrie is hetzelfde soort symmetrie, maar dan in twee dimensies. Beide symmetrieen zijn op te vatten als een draaisymmetrie voor alle draaihoeken.

Symmetrie hoeft zich niet te beperken tot één as of tot twee dimensies. Vaak heeft een voorwerp een verzameling symmetrieën. Zo bezit een vierkant vier symmetrieassen: een horizontale, een verticale en twee diagonale. Daarnaast is het vierkant ook puntsymmetrisch en draaisymmetrisch. Een cirkel bezit zelfs oneindig veel symmetrieassen en is ook draaisymmetrisch over willekeurige hoeken. Een cilinder heeft een oneindig aantal verticale spiegelvlakken en één horizontaal. De verticale as is een draaias over iedere willekeurige hoek. In het horizontale spiegelvlak een oneindig aantal draaiassen waarlangs het voorwerp 180° gedraaid kan worden (tweetallige assen) en in het middelpunt bevindt zich een inversiecentrum. Men noemt al deze bewerkingen symmetrieoperaties of -elementen.

In het algemeen spreekt men van een symmetrie-element als de operatie het object in zichzelf terugvoert (invariant laat). Wiskundig vormt een verzameling van symmetrieoperatoren van een object een symmetriegroep. Het begrip symmetrie is niet beperkt tot spiegeling of draaiing, maar kan wiskundig ook uitgebreid worden tot verschuivingen of zelfs schaalvergroting en -verkleining of het omkeren van de tijd.

Asymmetrie[bewerken]

Als een object geen enkele vorm van symmetrie heeft wordt het asymmetrisch genoemd. Zo zit het hart niet precies in het midden van het lichaam, het lichaam is daarmee dus eigenlijk asymmetrisch, hoewel het uitwendig zoals bij vele dieren symmetrisch is.

Esthetica en kunst[bewerken]

Byzantijns miniatuur uit de 6de eeuw

Symmetrie en asymmetrie zijn erg belangrijk in de beeldende kunst. Symmetrie wordt veel toegepast in volkskunst, kerken, rozetten en islamitische kunst.

Symmetrie zorgt er niet per se voor dat een voorwerp mooi is. Symmetrie kan, evenals bijvoorbeeld het materiaal en kleurgebruik, een rol spelen bij de esthetica van een kunstwerk. Symmetrische kunstwerken hebben dikwijls een evenwichtige en rustige aanblik. Bijvoorbeeld bij Byzantijnse kunst speelt centrale symmetrie een belangrijk rol, bij dit soort werken is er vaak verticale as aan te wijzen.

Schoonheid van een menselijk gezicht hangt o.a. af van de symmetrie ervan.

Kristallografie[bewerken]

In de kristallografie speelt de leer der symmetrieën een bijzonder grote rol. Bij het oplossen van een kristalstructuur door middel van röntgendiffractie is het bepalen van de symmetrie van het kristal (één van de 230 ruimtegroepen) in het algemeen de eerste stap.

Kwantummechanica en spectroscopie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Moleculaire symmetrie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Ook in de kwantummechanica bij het oplossen van de Schrödingervergelijking is het van groot belang de symmetrie van het onderhavige probleem bij voorbaat door middel van de groepentheorie in rekening te brengen. De symmetrie bepaalt namelijk vaak hoeveel energietoestanden er in totaal zijn en wat hun ontaardingsgraad is. De lijnen van een spectrum worden daarom vaak gekenmerkt door de symmetrie van de toestanden die bij de overgang betrokken zijn.

Verzamelingenleer[bewerken]

Een binaire relatie op een verzameling heet symmetrisch als ze onveranderlijk is bij het verwisselen van de begin- en eindpunten van de koppels.

Zie ook[bewerken]