Dubbelverhouding

De dubbelverhouding (ABCD) van vier op een rechte gelegen punten is een begrip uit de meetkunde. Het wordt gedefinieerd als de verhouding van twee deelverhoudingen. De dubbelverhouding is een invariant in de projectieve meetkunde in de zin dat ze invariant is onder een projectieve afbeelding.

In de notatie (ABCD) wordt AB als basislijn opgevat, die door de punten C en D in twee stukken gedeeld wordt. Definiëren we de deelverhouding

$\left(ABT\right) = \lambda$

door

$\overrightarrow{AT} \, = \, \lambda \, \overrightarrow{BT},$

dan is

$\left(ABCD\right) = \frac{\left(ABC\right)}{\left(ABD\right)}$

de dubbelverhouding van de vier punten A, B, C en D.

In deze definitie is de dubbelverhouding positief als de deelpunten C en D ofwel allebei op het lijnstuk AB ofwel allebei buiten het lijnstuk AB liggen. Ligt een van de punten op het lijnstuk AB en een erbuiten, dan is de dubbelverhouding negatief.

Verwisselt met C en D of A en B, dan verandert de dubbelverhouding in zijn omgekeerde, dus

$\left(ABDC\right) = \left(BACD\right) = \frac{1}{\left(ABCD\right)}.$

Verwisselt met B en C, dan krijgt men

$\left(ACBD\right) = 1 - \left(ABCD\right).$

Op deze manier krijgt men met vier punten op een lijn hoogstens zes verschillende waarden voor de dubbelverhouding:

$\lambda,\qquad \frac{1}{\lambda}, \qquad 1 - \lambda,\qquad \frac{1}{1 - \lambda},\qquad \frac{\lambda - 1}{\lambda},\qquad \frac{\lambda}{\lambda - 1}$

Harmonische ligging

Verdelen C en D de basis AB binnen en buiten het lijnstuk AB in dezelfde verhouding, dan is $\left(ABC\right) = - \left(ABD\right)$ dus $\left(ABCD\right) = - 1$

In dit geval is er sprake van harmonische ligging.

Eigenschappen

(ABCD)=(A'B'C'D')=(abcd)

De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie, dus als ABCD en A'B'C'D' twee stellen collineaire punten zijn, en de lijnen AA', BB', CC' en DD' concurrent zijn, dan geldt $\left(ABCD\right) = \left(A'B'C'D'\right)$.

Dubbelverhouding van lijnen

Door de invariantie van dubbelverhouding onder centrale projectie, kan de dubbelverhouding ook gedefinieerd worden voor concurrente lijnen. Snijden de lijnen a, b, c en d een lijn $\ell$ in vier ongelijke punten A, B, C en D, dan is de dubbelverhouding (abcd) gedefinieerd als

$\left(abcd\right) = \left(ABCD\right).$

Alternatieve definitie

Een alternatieve equivalente definitie voor de dubbelverhouding van vier concurrente lijnen is

$(abcd) = \frac{\sin\angle(a,c)}{\sin\angle(b,c)} : \frac{\sin\angle(a,d)}{\sin\angle(b,d)}.$

Zes punten op kegelsnede

Zijn ABCDPQ zes punten op een kegelsnede, dan zijn de dubbelverhoudingen (PAPA,PB,PC,PD) en (QA,QB,QC,QD) gelijk.