Dubbelverhouding

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De dubbelverhouding (ABCD) van vier collineaire punten is een begrip uit de meetkunde. Het wordt gedefinieerd als de verhouding van twee deelverhoudingen. De dubbelverhouding is een invariant in de projectieve meetkunde in de zin dat ze invariant is onder een projectieve transformatie.

De deelverhouding \left(ABT\right) van drie collineaire punten A,B en T wordt als volgt gedefinieerd :

\left(ABT\right) = \lambda  \, \Leftrightarrow  \, \overrightarrow{TA} \, = \, \lambda \, \overrightarrow{TB},

dan is bij definitie

\left(ABCD\right) = \frac{\left(ABC\right)}{\left(ABD\right)}

De dubbelverhouding van de vier punten A, B, C en D.

In deze definitie is de dubbelverhouding positief als de deelpunten C en D ofwel allebei op het lijnstuk AB ofwel allebei buiten het lijnstuk AB liggen. Ligt één van de punten op het lijnstuk AB en één erbuiten, dan is de dubbelverhouding negatief.

Verwisselt met C en D of A en B, dan verandert de dubbelverhouding in zijn omgekeerde, dus

\left(ABDC\right) = \left(BACD\right) = \frac{1}{\left(ABCD\right)}.

Verwisselt met B en C, dan krijgt men

\left(ACBD\right) = 1 - \left(ABCD\right).

Op deze manier krijgt men met vier punten op een lijn hoogstens zes verschillende waarden voor de dubbelverhouding:

\lambda,\qquad \frac{1}{\lambda}, \qquad 1 - \lambda,\qquad \frac{1}{1 - \lambda},\qquad \frac{\lambda - 1}{\lambda},\qquad \frac{\lambda}{\lambda - 1}

Harmonische ligging[bewerken]

Verdelen C en D de basis AB binnen en buiten het lijnstuk AB in dezelfde verhouding, dan is \left(ABC\right) = - \left(ABD\right) dus \left(ABCD\right) = - 1

In dit geval is er sprake van harmonische ligging.

Volgende uitspraken zijn gelijkwaardig.

  • Het geordend puntenviertal (A B C D) is een harmonisch puntenviertal.
  • De dubbelverhouding (A B C D) is -1.
  • De punten C en D liggen harmonisch ten opzichte van de punten A en B.
  • Punt C is harmonisch toegevoegd aan punt D ten opzichte van de punten A en B.

Voorbeelden:

Neem twee snijdende rechten a en b en hun bissectrices c en d. Als de rechte S de vier rechten a,b,c,d in overeenkomstige punten A,B,C en D snijdt, dan zijn C en D harmonisch toegevoegd ten opzichte van A en B.

Een lijn door twee diagonaalpunten van een volledige vierhoek snijdt de overige zijden in twee punten die ten opzichte van de diagonaalpunten harmonisch liggen.

De binnen- en buitenbissectrice uit een hoekpunt van een driehoek snijden de overstaande zijlijn in punten die harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de hoekpunten op die zijlijn.

Eigenschappen[bewerken]

(ABCD)=(A'B'C'D')=(abcd)

De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie, dus als ABCD en A'B'C'D' twee stellen collineaire punten zijn, en de lijnen AA', BB', CC' en DD' concurrent zijn, dan geldt \left(ABCD\right) = \left(A'B'C'D'\right).

Dubbelverhouding van lijnen[bewerken]

Door de invariantie van dubbelverhouding onder centrale projectie, kan de dubbelverhouding ook gedefinieerd worden voor concurrente coplanaire rechten. Snijden de rechten a, b, c en d een rechte \ell in vier ongelijke punten A, B, C en D, dan is de dubbelverhouding (abcd) gedefinieerd als

\left(abcd\right) = \left(ABCD\right).

Alternatieve definitie[bewerken]

Een alternatieve equivalente definitie voor de dubbelverhouding van vier concurrente rechten is

(abcd) = \frac{\sin\angle(a,c)}{\sin\angle(b,c)} : \frac{\sin\angle(a,d)}{\sin\angle(b,d)}.

Harmonische vierstraal[bewerken]

Een vierstraal bestaat uit vier geördende coplanaire concurrente rechten. Een vierstraal a,b,c,d heet harmonisch als en slechts als (a,b,c,d) = -1. Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

  • De vierstraal (a,b,c,d) is harmonisch
  • De dubbelverhouding (a,b,c,d) = -1
  • De lijnen c en d liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen a en b.
  • Lijn d is harmonisch toegevoegd aan lijn c ten opzichte van de lijnen a en b.

Voorbeelden:

Twee snijdende rechten a, b liggen harmonisch ten opzichte van de bissectrices c, d van de hoeken die ze met elkaar maken.

Twee diagonalen van een volledige vierhoek zijn harmonisch toegevoegd ten opzichte van de zijden door hun snijpunt

De poollijn van een punt P, ten opzichte van de rechten a en b met snijpunt S, is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn SP ten opzichte van de lijnen a en b.

Dubbelverhouding op een kegelsnede[bewerken]

dubbelverhouding op een kegelsnede

Verbindt men een veranderlijk punt van een niet ontaarde kegelsnede K met vier vaste punten van K, dan verkrijgt men een veranderlijke vierstraal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier punten op de kegelsnede en wordt de dubbelverhouding van die vier punten genoemd.

Snijdt men vier vaste raaklijnen aan een niet ontaarde kegelsnede K met een veranderlijke raaklijn aan K, dan verkrijgt men een puntenviertal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier vaste raaklijnen en wordt de dubbelverhouding van die vier raaklijnen genoemd.

Op de figuur zijn de rechten a,b,c en d vaste raaklijnen en de punten K,L,M en N vaste punten op de kegelsnede.
De dubbelverhouding (k,l,m,n) is onafhankelijk van de stand van het punt P op de kegelsnede, daardoor is de dubbelverhouding (K,L,M,N) ondubbelzinnig bepaald. Zo is ook (A,B,C,D) onafhankelijk van de stand van de veranderlijke raaklijn s en is de dubbelverhouding (a,b,c,d) van de vier vaste raaklijnen correct gedefinieerd.

Zie ook[bewerken]