Resultante

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het woord resultante wordt gebruikt voor het gevolg of resultaat van meerdere oorzaken van dezelfde categorie of grootheid. De resultante dient tot dezelfde categorie of grootheid te blijven behoren. Vaak wordt, ter vereenvoudiging, één enkele virtuele oorzaak berekend die alle andere oorzaken kan vervangen. Een resultante dient niet verward te worden met het effect van de verschillende oorzaken maar als een vervanging.

Als bijvoorbeeld meer dan één krachten inwerken op één voorwerp, dan zal dat voorwerp als gevolg daarvan een effect ondervinden: versnellen. Het versnellen kan dan toegerekend kan worden aan slechts één virtuele kracht: de resultante. Ook in de elektrotechniek kunnen verschillende stromen en spanningen op elkaar inwerken waar het uiteindelijke effect door slechts één spanning of stroom kan worden gerepresenteerd. In de elektrotechniek worden deze werkingen beschreven door de wetten van Kirchhoff. Meestal gebruikt met dan het woord resultante wanneer bij wisselstroom vectoriële wiskunde wordt gebruikt, net zoals in de mechanica. In het geval van de mechanica dus wanneer de ruimtelijke oriëntatie van de verschillende krachten verschillend is.

Mechanica[bewerken]

Bepaling van het aangrijpingspunt van de resultante - dikke rode lijnen: de twee krachten waarvan de resultante moet worden berekend; dunne rode lijn: hulplijn voor bepalen lengte en richting van de resultante (dunne blauwe lijn); dikke blauwe lijn: de resultante op basis van het juiste, geconstrueerde aangrijpingspunt

In de mechanica kan een kracht worden voorgesteld door de grootte en de richting: wiskundig een vector. De grootte en richting van de resultante van twee krachten kan worden berekend als de som van de vectoren. In een tekening, waar de krachten worden voorgesteld als een pijl, kan dit worden geconstrueerd door het beginpunt van de tweede pijl te verbinden met het eindpunt van de eerste: de som is dan de pijl van het beginpunt van de eerste naar het eindpunt van de verschoven tweede pijl.

Aangrijpingspunt[bewerken]

Bij bovenstaande constructie ontbreekt nog de bepaling van het aangrijpingspunt van de resultante. Edward Routh bedacht in 1893 een oplossing voor dit probleem:

  1. bepaal het snijpunt van de twee vectoren;
  2. trek een cirkel door het gevonden snijpunt en de aangrijpingspunten van de twee vectoren;
  3. trek een lijn van het snijpunt (1) in de richting van de resultante en bepaal het (andere) snijpunt met de cirkel (2); dit punt is het aangrijpingspunt van de resultante.

Deze procedure kan worden herhaald als er meer dan twee krachten in het spel zijn: de resultante van drie krachten is dan de resultante van de resultante van de eerste twee krachten en de derde kracht.

Bij twee evenwijdige krachten werkt deze constructie niet. De locatie van het aangrijpingspunt wordt dan gegeven door:


l = \frac{1}{2} k\, \frac{m-n}{m+n}

Hierin is m de lengte van de eerste vector, n de lengte van de tweede vector, k de afstand tussen de twee aangrijpingspunten en l de afstand van het gezochte aangrijpingspunt gerekend vanaf het midden van de twee aangrijpingspunten in de richting van het aangrijpingspunt van de eerste vector.

Betekenis[bewerken]

Is de resultante met zijn aangrijpingspunt bekend, dan zal een even grote maar in richting tegengestelde kracht op (een lijn door) hetzelfde punt de andere krachten precies opheffen zonder een resulterend moment.