Richtingsafgeleide

In de analyse kan de richtingsafgeleide van een functie van meer variabelen gezien worden als een veralgemening van het begrip partiële afgeleide, waar de richting altijd langs een van de coördinaatassen gelegen is. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige (eenheids)vector. Men kan de richtingsafgeleide bijgevolg interpreteren als de verandering van de functie volgens een bepaalde richting.

Definitie

De richtingsafgeleide van een differentieerbare functie $f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ volgens een eenheidsvector $\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)$ is gedefinieerd als de volgende limiet:

$D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}$

Berekening

In praktijk gebeurt de berekening als het product van de Jacobiaan J(f) (een matrix) en de vector v:

$D_{\boldsymbol{v}}.f = \boldsymbol{J(f)}.\boldsymbol{v}$

Voorbeeld

Gegeven de functie

$f(x,y) = xy \,$

Gevraagd richtingsafgeleide volgens eenheidsvector

$\boldsymbol{v} = ( \tfrac{1}{2} \sqrt2, \tfrac{1}{2} \sqrt2) \,$

Oplossing: De Jacobiaan is hier de gradiënt omdat de functie f scalair is

$J(f) (x,y) = (y, x) \,$

Dus volgt hieruit de gevraagde richtingsafgeleide

$D_v f (x,y) = \tfrac{1}{2} \sqrt2\ (x + y) \,$