Richtingsafgeleide

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de analyse kan de richtingsafgeleide van een functie van meer variabelen gezien worden als een veralgemening van het begrip partiële afgeleide, waar de richting altijd langs een van de coördinaatassen gelegen is. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige (eenheids)vector. Men kan de richtingsafgeleide bijgevolg interpreteren als de verandering van de functie in een bepaalde richting.

Definitie[bewerken]

De richtingsafgeleide van een differentieerbare functie f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) volgens een eenheidsvector \vec{v} = (v_1, \ldots, v_n) is gedefinieerd als de volgende limiet:

D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}

Berekening[bewerken]

In praktijk gebeurt de berekening als het product van de Jacobiaan J(f) (een matrix) en de vector v:

D_{\boldsymbol{v}}.f = \boldsymbol{J(f)}.\boldsymbol{v}

Voorbeeld[bewerken]

Gegeven de functie

f(x,y) = xy \,

Gevraagd richtingsafgeleide volgens eenheidsvector

 \boldsymbol{v} = ( \tfrac{1}{2} \sqrt2, \tfrac{1}{2} \sqrt2) \,

Oplossing: De Jacobiaan is hier de gradiënt omdat de functie f scalair is

 J(f) (x,y) = (y, x) \,

Dus volgt hieruit de gevraagde richtingsafgeleide

D_v f (x,y) = \tfrac{1}{2} \sqrt2\ (x + y) \,