Metrische tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de Riemann-meetkunde is de metrische tensor een object dat vastlegt hoe afstanden en hoeken kunnen worden uitgerekend. Hij wordt meestal genoteerd met de letter g.

Technisch is de metrische tensor een tensor van orde (0,2). Dat wil zeggen dat in elk punt van de ruimte, de metrische tensor een bilineaire afbeelding bepaalt tussen het Cartesisch product van de raakruimte met zichzelf, en de reële getallen:

g(p):T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}:(v,w)\mapsto g(p)(v,w)

Men eist dat deze bilineaire afbeelding een inproduct is, dat wil zeggen dat ze symmetrisch en positief definiet is.

De componenten van de metrische tensor in een gegeven lokaal coördinatenstelsel worden aangeduid met gij, waarbij de indices i en j lopen van 1 tot de dimensie n van de ruimte. Ze vormen dus een vierkante n maal n matrix. De componenten van de tensor zijn afhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel.

De metrische tensor bepaalt volledig de lokale meetkundige structuur van de Riemann-variëteit, zoals uitgedrukt in de krommingstensor van Riemann.

In de vlakke Euclidische ruimte \mathbb{R}^3, met het standaard-coördinatenstelsel, vormen de componenten van de metrische tensor de diagonaalmatrix diag(1,1,1), ook wel aangeduid met het symbool Kronecker-delta.

De relativiteitstheorie maakt strikt genomen geen gebruik van Riemann-variëteiten, maar van Lorentz-variëteiten. In dat geval wordt de voorwaarde "positief definiet" vervangen door de eis "niet-ontaard met precies 1 negatieve eigenwaarde". Zo is in de vlakke vierdimensionale ruimte-tijd de metrische tensor diag(-1,1,1,1) en wordt het ook wel ηab, de ruimte-tijd-tensor van Minkowski, genoemd.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]