Metrische tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Algemene relativiteitstheorie
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}
(de Einstein-vergelijking)

Een metrische tensor is een symmetrische tensor van type (0,2) op een gladde variëteit. Dat wil zeggen dat in elk punt van deze ruimte, de metrische tensor een symmetrische bilineaire vorm bepaalt op de raakruimte:

g(p):T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}:(v,w)\mapsto g(p)(v,w)

De metrische tensor is een object dat volledig de lokale meetkundige structuur bepaalt van de variëteit. Het kan onder meer betreffen een riemann-variëteit of een lorentz-variëteit. De krommingstensor van Riemann kan uit de metrische tensor afgeleid worden. De tensor is een entiteit op zichzelf, onafhankelijk van de gebruikte coördinaten. Een beschrijving in termen van coördinaten verandert dus bij een coördinatentransformatie.

De tensor heeft twee covariante indices, genoteerd als onderindices. Hij kan worden voorgesteld als een vierkante, niet-singuliere n bij n symmetrische matrix, waarbij n de dimensie is van de ruimte (niet te verwarren met de dimensie van een eventuele hogerdimensionale ruimte waarin de ruimte ingebed wordt gedacht om de kromming te verhelderen). De matrix is een functie van het punt in de ruimte. De componenten worden aangeduid met gij, waarbij de indices i en j lopen van 1 tot n; in de relativiteitstheorie worden vaak Griekse letters voor de indices gebruikt. De componenten vormen dus een vierkante n maal n matrix. Ze zijn de waarden van de bilineaire vorm bij toepassing op twee eenheidsvectoren in een gegeven lokaal coördinatenstelsel, en dus afhankelijk van de keuze daarvan. In einsteinnotatie is de bilineaire vorm g_{ij} v^i w^j of g_{\mu \nu} v^\mu w^\nu. De notatie met de bovenindex moet niet verward worden met machtsverheffen. Deze notatie wordt gebruikt bij een contravariante index: de betreffende coördinaat wordt kleiner als bij een coördinatentransformatie de betreffende eenheidsvector groter wordt. Het tegenovergestelde is een covariante index, van toepassing bij beide indices van g. In de natuurkunde geldt dat als v en w positieviervectoren zijn, g_{ij} v^i w^j de dimensie lengte in het kwadraat heeft. De dimensie van x^\mu is in het algemeen afhankelijk van \mu. De dimensie is bijvoorbeeld lengte of tijd, of het gaat bijvoorbeeld om een dimensieloze grootheid. Uit het voorgaande volgt dat de dimensie van g_{\mu \nu} is: lengte in het kwadraat, gedeeld door de dimensie van de \mu'de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de \nu'de coördinaat (zie bijvoorbeeld de schwarzschildmetriek in bolcoördinaten). De notatie van covariante en contravariante indices sluit hierbij aan: een bovenindex betekent vermenigvuldigen met, een onderindex delen door de betreffende dimensie om de dimensie van het resultaat te bepalen. Bij toepassing op een positieviervector en zichzelf krijgen we g_{\mu \nu} x^\mu x^\nu met dimensie lengte in het kwadraat. De metrische tensor kan niet alleen op positieviervectoren, maar ook op andere viervectoren worden toegepast, mede omdat de dimensies van de componenten van een viervector een vaste verhouding hebben met de dimensies van de componenten van de positieviervector. Voor bijvoorbeeld de viersnelheid V van een object heeft V^{\mu} de dimensie van de \mu'de coördinaat van de positieviervector, gedeeld door tijd, en geldt g_{\mu \nu} \mathbf V^{\mu} \mathbf V^{\nu} = c^2. De dimensie van een viervector U is de wortel van de dimensie van g_{\mu \nu} \mathbf U^{\mu} \mathbf U^{\nu}.

g^{\mu \nu} (dus zonder exponent "-1") is de notatie voor de inverse matrix van de metrische tensor. Het verhogen van de twee indices van een matrix betekent echter alleen bij de metrische tensor het inverteren van de matrix. In het algemeen geldt voor een door een matrix gegeven tensor: A^{\alpha\beta}=g^{\alpha\mu}g^{\beta\nu}A_{\mu \nu}.

In de riemann-meetkunde bepaalt de metrische tensor afstanden en hoeken. Men eist hier dat de bilineaire afbeelding een inproduct is, dat wil zeggen dat ze naast symmetrisch ook positief-definiet is.

De relativiteitstheorie maakt geen gebruik van riemann-variëteiten, maar van lorentz-variëteiten. Hierbij wordt de voorwaarde "positief-definiet" vervangen door de eis "niet-ontaard, met precies 1 negatieve eigenwaarde". De metrische tensor wordt (door de symmetrie van de 4 bij 4 matrix) gegeven door 10 reële functies van de vier ruimtetijdvariabelen.

Een lijnelement van een ruimtetijdkromme is tijdachtig als bij de mostly minus conventie g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu (einsteinnotatie, dus de som over de indices) positief is. Anders gezegd: een ruimtetijdkromme is tijdachtig in een punt van de kromme als voor de raaklijn door dat punt aan de kromme geldt dat g_{\mu \nu} \Delta x^\mu \Delta x^\nu positief is. Het lijnelement is lichtachtig als g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu nul is. Het lijnelement is ruimteachtig als g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu negatief is. Een ruimtetijdkromme is tijdachtig enz. als elk lijnelement dat is (in de andere formulering: als de ruimtetijdkromme dat in elk van zijn punten is). Een tijdachtige ruimtetijdkromme is in principe een mogelijke wereldlijn van een object, afhankelijk van de niet-gravitatiekrachten die erop werken. Een wereldlijn van een object waarop geen niet-gravitatiekrachten werken is niet alleen tijdachtig, maar ook een geodeet.

De lengte van een tijdachtige of ruimteachtige kromme is de lijnintegraal \int \sqrt {| g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu |} , en is resp. c maal de eigentijd, of de eigenafstand. Bij een tijdachtige scheiding en een tijdachtige tekenconventie kan de metrische tensor dus beschreven worden met een notatie van de vorm c^2 d \tau^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu. Daarmee ligt de tensor vast en kan die ook worden toegepast bij een ruimteachtige scheiding.[1]

Voor een gladde variëteit zijn niet altijd globale coördinaten mogelijk. Bij de genoemde integraal kan het coördinatenstelsel dus wisselen langs de kromme. Dit gebeurt zo dat de integraal eenduidig bepaald blijft, zie ook onder.

Vlakke ruimte[bewerken]

Een metrische tensor op een euclidische ruimte of een pseudo-euclidische ruimte is in elk punt van de ruimte dezelfde symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte, en wordt dus gegeven door één bilineaire vorm op de ruimte zelf. Bij coördinaten als coëfficiënten van vaste dimensieloze basisvectoren (dus niet bijvoorbeeld bolcoördinaten) wordt de biineaire vorm gegeven door één constante symmetrische matrix. De componenten hiervan zijn afhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel. Er zijn altijd coördinatenstelsels waarbij de matrix een diagonaalmatrix is. In de natuurkunde geldt dat de dimensie van g_{\mu \mu} is: lengte in het kwadraat, gedeeld door de dimensie van de \mu'de coördinaat in het kwadraat.

Wiskundig gezien zijn er ook coördinatenstelsels waarbij de matrix een diagonaalmatrix is met als diagonaalelementen alleen waarden uit de verzameling {-1, 0, 1}. Bij een euclidische ruimte zijn die dan steeds 1: in de vlakke euclidische ruimte \mathbb{R}^3, met het standaard-coördinatenstelsel, vormen de componenten van de metrische tensor de diagonaalmatrix diag(1,1,1). g_{ij} is hier dus \delta_{ij} (kronecker-delta). Natuurkundig ligt het voor de hand coördinaten van dimensie lengte te kiezen, zodat de diagonaalelementen dimensieloos zijn.

Bij een pseudo-euclidische ruimte zijn de diagonaalelementen niet nul, dus positief of negatief. Als de ruimte een lorentz-variëteit is dan is één diagonaalelement negatief en de overige zijn positief, of omgekeerd, afhankelijk van de conventie. In de speciale relativiteitstheorie heet de metrische tensor de minkowskitensor. Het diagonaalelement met afwijkend teken staat op de positie corresponderend met de coördinaat die bij de positieviervector de tijd representeert. De overige diagonaalelementen zijn dimensieloos en in absolute waarde 1.

Naast de genoemde conventie en de conventie voor de genoemde positie (op de eerste of laatste plaats) is er nog de keuze of de coördinaat van de positieviervector die de tijd representeert inderdaad dimensie tijd heeft, en het diagonaalelement in absolute waarde de lichtsnelheid c in het kwadraat is, of dat de coördinaat van de positieviervector die de tijd representeert dimensie lengte heeft, door de tijd te vermenigvuldigen met c, en het diagonaalelement in absolute waarde het dimensieloze getal 1 is.

g_{\mu \nu} wordt hier genoteerd \eta_{\mu \nu}

De tweedimensionale variant is een vereenvoudigde versie van de minkowskitensor waarbij een (tweedimensionaal) minkowski-diagram verhelderend kan werken; er is symmetrie tussen de coördinaten ct en x, in de zin dat bij verwisseling alleen het teken van de bilineaire vorm wisselt; er is dus (wiskundig gezien) vergaande symmetrie tussen tijd en ruimte. Natuurkundig is er nog steeds het verschil dat een tijdachtige ruimtetijdkromme in principe een mogelijke wereldlijn van een object is, een andere kromme niet.

De driedimensionale variant is een meer geavanceerde, iets minder vereenvoudigde versie van de minkowskitensor, waarbij de ruimte een tijdas en twee ruimteassen heeft; deze ruimte is gemakkelijker om zich voor te stellen dan de vierdimensionale ruimtetijd, maar wel voldoende om bepaalde eigenschappen en formules die niet aan de orde zijn in een "tweedimensionale ruimtetijd" te verhelderen.

Coördinatentransformatie[bewerken]

Een coördinatentransformatie met bijbehorende verandering van de matrix van grootheden g_{\mu \nu} levert dezelfde g_{\mu \nu} v_\mu w_\nu op, zodat de nieuwe matrix dezelfde meetkundige structuur bepaalt. Er geldt (zie ook coördinatentransformaties bij tensoren):

g_{\bar \mu \bar \nu} = \frac{\partial x^\rho}{\partial x^{\bar \mu}}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x^{\bar \nu}} g_{\rho\sigma}

Dit komt neer op het toepassen van de metrische tensor op paren kolommen van de jacobiaan van de coördinatentransformatie, vergelijk de jacobiaan bij overgang op poolcoördinaten.

Voorbeeld: de minkowskitensor \eta_{\mu \nu} = diag (1,-1,-1,-1) gebruikt coördinaat ct, terwijl g_{\mu \nu} = diag (c2,-1,-1,-1) met coördinaat t dezelfde meetkundige structuur bepaalt. In dit geval heeft g_{tt} de dimensie snelheid in het kwadraat en zijn g_{xx}, g_{yy} en g_{zz} dimensieloos, zodat g_{\mu \nu} v^\mu w^\nu zoals steeds de dimensie lengte in het kwadraat heeft.

Christoffelsymbolen[bewerken]

De christoffelsymbolen worden als volgt gedefinieerd in termen van de metrische tensor:

\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}=\frac{1}{2}g^{\alpha \epsilon} (\partial_\gamma g_{\beta \epsilon}+\partial_\beta g_{\gamma\epsilon}-\partial_\epsilon g_{\beta\gamma}).

De dimensie van \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} is de dimensie van de \alpha'de coördinaat, gedeeld door de dimensie van de \beta'de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de \gamma'de coördinaat.

Enkele speciale gevallen:

  • g_{\mu \nu} hangt niet van het punt in de ruimte af. In dat geval geldt \Gamma^\alpha_{\beta\gamma}=0.
  • De ruimte is eendimensionaal. In dat geval geldt:
\Gamma^1_{11}=\frac{1}{2}g^{11} \partial_1 g_{11}.

Covariante afgeleide[bewerken]

Voor een contravariante tensor  A^\nu wordt de covariante afgeleide \nabla A^\nu in de \mu-richting gegeven door

\nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu +\Gamma^\nu_{\mu\rho} A^\rho

en voor een covariante tensor door

\nabla_\mu A_\nu= \partial_\mu A_\nu - \Gamma^\rho_{\mu\nu}A_\rho

Enkele speciale gevallen:

  • g_{\mu \nu} hangt niet van het punt in de ruimte af. In dat geval geldt
    • \nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu
    • \nabla_\mu A_\nu= - \partial_\mu A_\nu
  • De ruimte is eendimensionaal. In dat geval geldt:
    • \nabla_1 A^1 = \partial_1 A^1 + \frac{1}{2}g^{11} \partial_1 g_{11}
    • \nabla_1 A_1= \partial_1 A_1 - \frac{1}{2}g^{11} \partial_1 g_{11}

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Vaak wordt een notatie gebruikt van de vorm ds^2 = .. of s^2 = .. met als rechterlid een uitdrukking van de vorm  g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu of  g_{\mu \nu} x^\mu x^\nu. De notatie ds of s representeert de dimensie lengte, zodat ds^2 of s^2 de dimensie lengte in het kwadraat representeert. Er wordt daarbij niet gedoeld op een grootheid ds of s die bij een negatieve rechterzijde zuiver imaginair is.