Metrische tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een metrische tensor is een tensor van orde (0,2). Dat wil zeggen dat in elk punt van de ruimte, de metrische tensor een symmetrische bilineaire vorm bepaalt tussen het cartesisch product van de raakruimte met zichzelf, en de reële getallen:

g(p):T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}:(v,w)\mapsto g(p)(v,w)

De componenten van de metrische tensor in een gegeven lokaal coördinatenstelsel worden aangeduid met gij, waarbij de indices i en j lopen van 1 tot de dimensie n van de ruimte. Ze vormen dus een vierkante n maal n matrix. De componenten van de tensor zijn afhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel.

Riemann-variëteit[bewerken]

In de riemann-meetkunde is de metrische tensor een object dat vastlegt hoe afstanden en hoeken kunnen worden uitgerekend. Hij wordt meestal genoteerd met de letter g.

Men eist dat deze bilineaire afbeelding een inproduct is, dat wil zeggen dat ze symmetrisch en positief definiet is.

De metrische tensor bepaalt volledig de lokale meetkundige structuur van de riemann-variëteit, zoals uitgedrukt in de krommingstensor van Riemann.

In de vlakke euclidische ruimte \mathbb{R}^3, met het standaard-coördinatenstelsel, vormen de componenten van de metrische tensor de diagonaalmatrix diag(1,1,1), ook wel aangeduid met het symbool kronecker-delta.

Lorentz-variëteit[bewerken]

De relativiteitstheorie maakt geen gebruik van riemann-variëteiten, maar van lorentz-variëteiten. Hierbij wordt de voorwaarde "positief definiet" vervangen door de eis "niet-ontaard, met precies 1 negatieve eigenwaarde". Zo is in de vlakke vierdimensionale ruimtetijd de metrische tensor de minkowskitensor diag(-1,1,1,1).

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]