Minkowski-ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Speciale relativiteitstheorie
{E}\,  = m\, c^2
(de massa-energierelatie)

In de natuurkunde en de wiskunde is de minkowski-ruimte (of minkowski-ruimtetijd) de ruimtetijd waarin Einsteins speciale relativiteitstheorie is geformuleerd. In deze context worden de drie gewone ruimte-dimensies gecombineerd met één enkele tijd-dimensie tot een vierdimensionale variëteit die de gehele ruimtetijd voorstelt. De minkowski-ruimte is genoemd naar de Duitse wiskundige Hermann Minkowski.

Theoretische achtergrond[bewerken]

In de theoretische natuurkunde wordt de minkowski-ruimte vaak vergeleken met de euclidische ruimte. Terwijl een euclidische ruimte alleen ruimtelijke dimensies kent, heeft een Minkowski-ruimte echter ook de tijd als een extra dimensie. Wat beide ruimtes met elkaar gemeenschappelijk hebben, is het feit dat beide vlak zijn. Meer expliciet:

  • Binnen de grote familie van (mogelijk gekromde) oppervlakken, neemt de euclidische ruimte een bijzondere positie in omdat deze ruimte vlak is.
  • Ook een ruimtetijd (= oppervlak + één tijddimensie) kan gekromd zijn. De Minkowski-ruimte is speciaal in de zin dat deze ruimte vlak is. Het is dus de meest eenvoudige ruimtetijd, en daarom het natuurlijke domein van de speciale relativiteitstheorie. De meer volledige beschrijving van de ruimtetijd waarin we leven, welke ook het effect van kromming beschrijft en dus een uitbreiding is van de speciale relativiteitstheorie, wordt beschreven in de algemene relativiteitstheorie.

Zoals bovenstaande uitleg duidelijk maakt, is een belangrijke eigenschap van een ruimte de vraag of deze al dan niet vlak is. Dit is nauw verbonden met de notie van afstanden,

Afstand in de minkowski-ruimte[bewerken]

Elke ruimtetijdpositie (ook gebeurtenis genoemd) wordt gegeven door een positie-viervector  (t_1, x_1, x_2,x_3 ) , welke zowel het tijdstip als de positie specificeert.

De "afstand" of het "ruimtetijdinterval" tussen twee ruimtetijdposities in een minkowski-ruimtetijd gegeven door de vectoren  (t_1, x_1, x_2,x_3 ) en  (t_1', x_1', x_2',x_3' ) is gegeven door

 L = - c^2 \Delta t^2 + \Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + \Delta x_3^2

waarbij  (\Delta t, \Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3 ) =  (t_1-t_1', x_1-x_1', x_2-x_2' ,x_3-x_3' ) , en c is de lichtsnelheid.

Deze L is onafhankelijk van het inertiaalstelsel. Bij het inertiaalstelsel waarbij de gewone afstand het kleinst is is dus ook het tijdverschil het kleinst.

Opmerking: soms wordt de bovenstaande metriek met tegengestelde tekens gedefinieerd (of met extra factoren). Men dient bij het gebruiken van verschillende bronnen na te gaan welke tekenconventies daar gebruikt worden.

Ruimte-, licht- en tijdachtige intervallen[bewerken]

Voor twee verschillende ruimtetijdposities zijn er drie mogelijkheden:

  • Als L positief is zegt men dat de ruimtetijdposities ruimteachtig gescheiden zijn. Er kan geen causaal verband zijn tussen gebeurtenissen op beide ruimtetijdposities; het tijdverschil is afhankelijk van het inertiaalstelsel positief, nul of negatief. De ruimtelijke afstand is in elk inertiaalstelsel groter dan nul, en het kleinst ( \sqrt L ) in het inertiaalstelsel waarin de ruimtetijdposities gelijktijdig zijn.
  • Als L nul is zegt men dat de ruimtetijdposities lichtachtig gescheiden zijn (omdat een lichtpuls uitgezonden op de ene ruimtetijdpositie op de andere aankomt). De ene ruimtetijdpositie is ondubbelzinnig na de andere, maar voor twee gegeven ruimtetijdposities kan door de keuze van het inertiaalstelsel het tijdsverschil (en dienovereenkomstig de ruimtelijke afstand) elke willekeurige positieve waarde aannemen.
  • Als L negatief is, zegt men dat deze tijdachtig gescheiden zijn. De ene ruimtetijdpositie is ondubbelzinnig na de andere. Het tijdsverschil is het kleinst in het inertiaalstelsel waarin de ruimteposities gelijk zijn, het is de verstrijkende eigentijd van een waarnemer die zich met een constante snelheid tussen de ruimtetijdposities verplaatst:
 \Delta \tau=\sqrt {\frac{-L}{c^2}}
Er geldt dus:
 c^2 \Delta \tau^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x_1^2 - \Delta x_2^2 - \Delta x_3^2
Dit komt overeen met de formule voor tijddilatatie als gevolg van beweging.

Zie ook de indeling plaatstijdposities t.o.v. de lichtkegel.

Symmetrieën[bewerken]

De symmetriegroep van een euclidische ruimte is de euclidische groep. De symmetriegroep van de minkowski-ruimte is de poincaré-groep. Deze bestaat uit translatie en lorentztransformaties, welke op hun beurt bestaan uit rotaties en zogeheten boosts.

Geschiedenis[bewerken]

De minkowski-ruimte is genoemd naar de Duitse wiskundige Hermann Minkowski, die zich rond 1907 realiseerde dat de speciale relativiteitstheorie, die in 1905 was opgesteld door Albert Einstein, op elegante wijze kon worden beschreven door gebruik te maken van een vierdimensionale ruimtetijd, waar de ene dimensie van tijd gecombineerd wordt met de drie ruimtedimensies.

“De visie op ruimte en tijd die ik aan U wil voorleggen vindt zijn oorsprong in de experimentele natuurkunde en daarin schuilt ook zijn kracht. Het is een radicale visie. Van nu af aan zijn ruimte en tijd op zichzelf gedoemd om langzamerhand in de schaduwen te verdwijnen en zal slechts een soort vereniging van de twee als een onafhankelijke realiteit voortleven." - Hermann Minkowski, 1908

De weg voor de minkowski-ruimte was eigenlijk reeds in de jaren negentig van de 19e eeuw gebaand door de ontwikkeling van de hyperbolische quaternionen. De minkowski-ruimte kan als een wiskundige structuur worden gezien die bestaat uit de hyperbolische quaternionen minus het vermenigvuldigingsproduct, waardoor alleen een bilineaire vorm

 \eta(p,q) = -\frac{pq^\ast + (pq^\ast)^\ast}{2}

overblijft, die door het hyperbolische quaternionenproduct pq^\ast wordt gegenereerd.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]