Minkowski-ruimte

Speciale relativiteitstheorie

${E}\, = m\, c^2$

(de massa-energierelatie) Achtergrond Lichtsnelheid · Lorentzinvariantie Inertiaalstelsel Wetten van Maxwell Fundamentele begrippen Lorentztransformatie · Ruimtetijd Viervector · Minkowski-ruimte Lengtecontractie · Tijddilatatie Gelijktijdigheid Gevorderde onderwerpen Massa-energierelatie Tweelingparadox EPR-paradox Experimenten Michelson-Morley-experiment Fizeau-experiment energieproductie bij kernreacties Wetenschappers Einstein · Maxwell · Minkowski Lorentz · Poincaré

In de natuurkunde en de wiskunde is de Minkowski-ruimte (of Minkowski-ruimtetijd) de ruimtetijd waarin Einsteins speciale relativiteitstheorie is geformuleerd. In deze context worden de drie gewone ruimte-dimensies gecombineerd met één enkele tijd-dimensie tot een vierdimensionale variëteit die de gehele ruimtetijd voorstelt. De Minkowski-ruimte is genoemd naar de Duitse wiskundige Hermann Minkowski.

Theoretische achtergrond

In de theoretische natuurkunde wordt de Minkowski-ruimte vaak vergeleken met de euclidische ruimte. Terwijl een euclidische ruimte alleen ruimtelijke dimensies kent, heeft een Minkowski-ruimte echter ook de tijd als een extra dimensie. Wat beide ruimtes met elkaar gemeenschappelijk hebben, is het feit dat beide vlak zijn. Meer expliciet:

• Binnen de grote familie van (mogelijk gekromde) oppervlakken, neemt de euclidische ruimte een bijzondere positie in omdat deze ruimte vlak is.
• Ook een ruimtetijd (= oppervlak + één tijddimensie) kan gekromd zijn. De Minkowski-ruimte is speciaal in de zin dat deze ruimte vlak is. Het is dus de meest eenvoudige ruimtetijd, en daarom het natuurlijke domein van de speciale relativiteitstheorie. De meer volledige beschrijving van de ruimtetijd waarin we leven, welke ook het effect van kromming beschrijft en dus een uitbreiding is van de speciale relativiteitstheorie, wordt beschreven in de algemene relativiteitstheorie.

Zoals bovenstaande uitleg duidelijk maakt, is een belangrijke eigenschap van een ruimte de vraag of deze al dan niet vlak is. Dit is nauw verbonden met de notie van afstanden,

Afstand in de Minkowski-ruimte

Om afstanden te beschrijven, merken we eerst op dat elke positie in een Minkowsi-ruimte gegeven is door een positie-viervector $(t_1, x_1, x_2,x_3 )$, welke zowel het tijdstip als een positie specificeert. (Men spreekt ook wel van een gebeurtenis, om het onderscheid met de gewoonlijke notie van positie te benadrukken.)

De afstand tussen twee gebeurtenissen in een Minkowski-ruimtetijd met positievectoren $(t_1, x_1, x_2,x_3 )$ en $(t_1', x_1', x_2',x_3' )$ is gegeven door

$L^2 = - c^2 \Delta t^2 + \Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + \Delta x_3^2$

waarbij $(\Delta t, \Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3 ) = (t_1-t_1', x_1-x_1', x_2-x_2 ,x_3-x_3' )$, en $c$ is de lichtsnelheid. Indien de posities $(t_1, x_1, x_2,x_3 )$ en $(t_1', x_1', x_2',x_3' )$ op hetzelfde tijdstip van de ruimtetijd vallen, is $t_1 = t_1'$, en reduceert L in bovenstaande uitdrukking tot de gewone euclidische afstand. Echter, als er ook een tijdsverschil is tussen de punten, is er ook een bijdrage van de eerste term in bovenstaande vergelijking. $L^2$ kan dan nul worden, of zelfs negatief.

Meer technisch, kan men de afstand tussen punten coderen in de metriek, gedefinieerd als de $4\times4$-matrix

$\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$

Als we bovenstaande verschilvector kort noteren als $( c t_1, x_1, x_2,x_3 )$ kan bovenstaande afstand geschreven worden als

$L^2 = \sum_{\mu =0}^{3} \sum_{\nu =0}^{3} x^\mu x^\nu \eta_{\mu\nu} = x^\mu x^\nu \eta_{\mu\nu}.$

De componenten van de metriek werden gelabeled met een rij-index $\mu$ en een kolom-index $\nu$, en in de laatste stap werd overgegegaan naar de Einstein-sommatieconventie (sommatie over herhaalde indices wordt daarin verzwegen).

Opmerking: soms wordt de bovenstaande metriek met tegengestelde tekens gedefinieerd (of met extra factoren). Men dient bij het gebruiken van verschillende bronnen na te gaan welke tekenconventies daar gebruikt worden.

Ruimte-, licht- en tijdachtige intervallen

Stel nu dat een lichtpuls in de $x_1$ -richting beweegt, en dat deze vertrekt vanop de positie $(0, 0, 0,0 )$. Op een later tijdstip $t$ is de positie van de lichtpuls dan $x = c t$ (herinner dat $c$ de lichtsnelheid is). Op dat tweede moment is de ruimtetijdpositie dus gegeven door $( t, c t , 0,0 )$. De afstand tussen de eerste en tweede positie is dan

$L^2 = - c^2 \Delta t^2 + \Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + \Delta x_3^2 = - c^2 t^2 + (c t )^2 = 0$

De Minkowski-afstand tussen twee punten op het pad van een lichtpuls is dus altijd nul. Vandaar dat men het volgende onderscheid maakt:

• Als de afstand tussen twee ruimtetijdposities positief is, zegt men dat deze ruimteachtig gescheiden zijn. Er kan geen causaal verband zijn tussen gebeurtenissen op beide ruimtetijdposities; het tijdverschil is afhankelijk van het inertiaalstelsel positief, nul of negatief. De ruimtelijke afstand is het kleinst in het inertiaalstelsel waarin de ruimtetijdposities gelijktijdig zijn.
• Als de afstand tussen twee verschillende ruimtetijdposities nul is, zegt men dat deze lichtachtig gescheiden zijn. De ene ruimtetijdpositie is ondubbelzinnig na de andere, maar voor twee gegeven ruimtetijdposities kan door de keuze van het inertiaalstelsel het tijdsverschil (en dienovereenkomstig de ruimtelijke afstand) willekeurig klein gekozen worden.
• Als de afstand tussen twee ruimtetijdposities negatief is, zegt men dat deze tijdachtig gescheiden zijn. De ene ruimtetijdpositie is ondubbelzinnig na de andere. Het tijdsverschil is het kleinst in het inertiaalstelsel waarin de ruimteposities gelijk zijn (zie ook hieronder).

Zie ook de indeling plaatstijdposities t.o.v. de lichtkegel.

Relatie met eigentijd

De afstand die hierboven werd gedefinieerd is nauw gerelateerd aan de eigentijd van een waarnemer die zich met een constante snelheid tussen de posities $(t_1, x_1, x_2,x_3 )$ en $(t_1', x_1', x_2',x_3' )$ verplaatst: de klok van zo'n waarnemer gaat een tijd $\Delta \tau$ vooruit, waarbij

$\Delta \tau=\sqrt {\frac{-L^2}{c^2}}$

Aangezien een waarnemer altijd trager beweegt dan de lichtsnelheid, kan deze zich alleen over een tijdachtig interval verplaatsen. Voor zo'n interval is de Minkowski-afstand $L^2$ negatief, en is dus de bovenstaande uitdrukking voor de verstreken eigentijd een reëel getal. Het tijdsverschil tussen de twee ruimtetijdposities is het kleinst in het inertiaalstelsel van de genoemde waarnemer, het is dan de verstreken eigentijd van deze waarnemer.

Symmetrieën

De symmetriegroep van een euclidische ruimte is de euclidische groep. De symmetriegroep van de Minkowski-ruimte is de Poincaré-groep. Deze bestaat uit translatie en Lorentztransformaties, welke op hun beurt bestaan uit rotaties en zogeheten boosts.

Geschiedenis

De Minkowski-ruimte is genoemd naar de Duitse wiskundige Hermann Minkowski, die zich rond 1907 realiseerde dat de speciale relativiteitstheorie, die in 1905 was opgesteld door Albert Einstein, op elegante wijze kon worden beschreven door gebruik te maken van een vierdimensionale ruimtetijd, waar de ene dimensie van tijd gecombineerd wordt met de drie ruimtedimensies.

“De visie op ruimte en tijd die ik aan U wil voorleggen vindt zijn oorsprong in de experimentele natuurkunde en daarin schuilt ook zijn kracht. Het is een radicale visie. Van nu af aan zijn ruimte en tijd op zichzelf gedoemd om langzamerhand in de schaduwen te verdwijnen en zal slechts een soort vereniging van de twee als een onafhankelijke realiteit voortleven. "-Hermann Minkowski, 1908

De weg voor de Minkowski-ruimte was eigenlijk reeds in de jaren negentig van de 19e eeuw gebaand door de ontwikkeling van de hyperbolische quaternionen. De Minkowski-ruimte kan als een wiskundige structuur worden gezien die bestaat uit de hyperbolische quaternionen minus het vermenigvuldigingsproduct, waardoor alleen een bilineaire vorm

$\eta(p,q) = -\frac{pq^\ast + (pq^\ast)^\ast}{2}$

overblijft, die door het hyperbolische quaternionenproduct $pq^\ast$ wordt gegenereerd.

Zie ook

• Ruimtetijd
• Speciale relativiteitstheorie
• Eigentijd

Externe link

• Animatievideo van de Minkowski-ruimte