Lorentzinvariantie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Speciale relativiteitstheorie
{E}\,  = m\, c^2
(de massa-energierelatie)

In de relativiteitstheorie is Lorentzinvariantie het verschijnsel dat een bepaalde eigenschap niet afhangt van het inertiaalstelsel waarin men werkt. Dit betekent dat, wanneer men een Lorentztransformatie uitvoert om naar een andere waarnemer over te gaan, de uitdrukking in kwestie niet essentieel verandert. Onder Lorentztranformaties rekent men in deze context alle symmetrieën van de ruimtetijd die de oorsprong invariant laten: Lorentzboosts (overgang op een ander inertiaalstelsel) en rotaties van de ruimte. De postulaten van de speciale relativiteitstheorie komen neer op de eis van Lorentzinvariantie van de natuurwetten.

Lorentzcovariantie van een grootheid[bewerken]

Een begrip zeer nauw verwant met de invariantie is Lorentzcovariantie of de manier waarop een grootheid transformeert onder de Lorentztransformaties. Hierin onderscheidt met scalairen, viervectoren, spinoren en meer algemeen tensoren.

Scalaire grootheden[bewerken]

Scalairen zijn grootheden die niet veranderen onder invloed van Lorentztransformaties. Een voorbeeld hiervan is het invariante lijnelement

ds^2= c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 . \!

Een ander voorbeeld is de rustmassa van een deeltje.

Lorentztransformatie[bewerken]

Onder een Lorentztransformatie in, bijvoorbeeld de x-richting, en met snelheid v, vinden we dat de getransformeerde positie gelijk is aan

\begin{align}
x' &= \frac 1{\sqrt{1 - (\frac vc)^2}} (x - vt)\ , \\
y' &= y\ , \\
z' &= z\ , \\
t' &= \frac 1{\sqrt{1 - (\frac vc)^2}} \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)\ .
\end{align}

Daarbij geven x, y, z en t positie en tijd aan in een stelsel S en x', y', z' en t' in een stelsel S' dat beweegt ten opzichte van S. Wanneer twee gebeuretenissen (x0, y0, z0, t0) en (x1, y1, z1, t1) gescheiden zijn door een afstand s01 dan vindt men voor de afstand in S':

\mathbf{} 
s_{01}'^2 = (x'_1-x'_0)^2 + (y'_1-y'_0)^2 + (z'_1-z'_0)^2 - (ct'_1-ct'_0)^2
\mathbf{} 
= \frac {(x_1-x_0 - v(t_1-t_0))^2}{1 - (\frac vc)^2} 
+ (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2 
- \frac {(ct_1-ct_0 - (x_1-x_0)v/c)^2}{1 - (\frac vc)^2}
\mathbf{} 
= (x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2 - (ct_1-ct_0)^2 
= s_{01}^2

Zodat :\mathbf{}s_{01}^2 een voorbeeld is van een invariante grootheid.

Viervectoren[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie viervector voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een viervector is elke grootheid die zich gedraagt als de positievector (t, x, y, z) zelf. Deze positievector wordt kort als xμ genoteerd. Andere viervectoren zijn de vier-snelheid: de afgeleide van de positie-viervector naar de eigentijd:

u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \frac 1{\sqrt{1 - (\frac vc)^2}} \left(c, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right) \ ,

en de vier-impuls: de vier-snelheid vermenigvuldigd met de rustmassa:

p^\mu = \left(\frac Ec, p^x, p^y, p^z\right) \ .

Spinoren[bewerken]

Spinoren zijn grootheden die worden gebruikt om fermionen te beschrijven. De golffunctie van een elektron is bijvoorbeeld een spinor.

Tensoren[bewerken]

Als we de transformatie van viervectoren noteren als (met Einstein-sommatieconventie)

v'^\mu = {R^\mu}_\nu v^\nu

met Rμν een zekere matrix, dan wordt een algemene tensor Aαβγ…κλμ… (met een zeker aantal indices) gedefinieerd als een grootheid die onder Lorentztransformaties transformeert als

 {{A'}^{\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots}}_{\beta_1\beta_2\beta_3\cdots} = {R^{\alpha_1}}_{\mu_1}{R^{\alpha_2}}_{\mu_2}{R^{\alpha_3}}_{\mu_3} \cdots {R_{\beta_1}}^{\nu_1} {R_{\beta_2}}^{\nu_2} {R_{\beta_3}}^{\nu_3} \cdots {A^{\mu_1\mu_2\mu_3\cdots}}_{\nu_1\nu_2\nu_3\cdots} \ .

Hierin is Rμν de inverse matrix van Rμν.

Viervectoren zijn speciale gevallen van tensoren met slechts één index (zij zijn dus tensoren van rang 1), en scalairen zijn tensoren zonder indices (tensoren van rang 0). Als tensoren van rang 2 zijn er bijvoorbeeld de Minkowskitensor:

 \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{pmatrix} \ .

Een ander voorbeeld is de elektromagnetische tensor

 F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \ .

Een voorbeeld van een tensor van rang 4 is de Riemanntensor Rμναβ die de kromming van de ruimtetijd beschrijft.

De positie van de indices (boven- of onderaan) duidt aan of de grootheid covariant of contravariant transformeert.

Contracties[bewerken]

De contractie van twee tensoren is weer een tensor. Een contractie bestaat eruit dat een covariante en een contravariante index gelijk worden gesteld, waarna erover wordt gesommeerd. Dit gebeurt met de Minkowskitensor als men een covariante index contravariant wil maken of omgekeerd:

 x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu \ .

Hier wordt in het rechterlid de index ν gecontraheerd. Op deze manier associeert men een scalair met elke viervector:

 x^2 = x_\mu x^\mu = x^\mu x^\nu \eta_{\mu\nu} \,

waar x2 een scalair is.

Lorentzcovariantie van een gelijkheid[bewerken]

De natuurwetten horen Lorentzinvariant te zijn. Dit betekent dat, als we de natuurwetten neerschrijven in één referentiestelsel, ze dezelfde moeten blijven na Lorentztransformatie naar een ander referentiestelsel. Om dit te bereiken, horen beide leden van elke gelijkheid hetzelfde transformatiegedrag te hebben.

De wet van behoud van lading kan covariant geschreven worden. Ten eerste hebben we de viervector van de ladingsstroomdichtheid jμ = (cρ, jx, jy, jz), met ρ de ladingsdichtheid en (jx, jy, jz) de stroomvector. Ten tweede is ook de afgeleide naar de positie een viervector:

 \partial_\mu = \left(\frac1c\frac \partial{\partial t}, \frac \partial{\partial x}, \frac \partial{\partial y}, \frac \partial{\partial z}\right) \ .

De wet van behoud van lading kan dan worden geschreven als

\partial_\mu j^\mu = 0 \,

waar nu beide leden scalairen zijn.

Een ander voorbeeld zijn de Maxwellvergelijkingen, die de vorm hebben:

 \partial_\mu F^{\mu\nu} = -\mu_0 j^\nu \ .

In beide leden staat een viervector.

Lorentz-schending[bewerken]

Schending van de Lorentz-invariantie refereert aan theorieën die bij benadering relativistisch zijn als het gaat om daadwerkelijke experimenten (er zijn een heel aantal van dergelijke experimentele tests uitgevoerd), maar toch kleine of verborgen Lorentz-schendende correcties bevatten. Er zijn hiervoor verschillende scenario's:

  • De natuurwetten zijn op een fundamenteel niveau wel Lorentzinvariant, maar deze symmetrie is spontaan gebroken. Dit zou er onder andere toe leiden dat het graviton niet massaloos meer is en dat gravitatie zich trager dan het licht voortplant.
  • De natuurwetten zijn invariant onder een variant van de Lorentz-groep. Deze variant moet zich tot de gewone Lorentz-groep herleiden voor lage energieën.

Tot op heden zijn nog geen schendingen van de Lorentz-symmetrie waargenomen, zodat deze modellen slechts speculatief zijn.

Externe links[bewerken]