Lorentztransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De lorentztransformatie, genoemd naar zijn ontdekker, de Nederlandse natuurkundige Hendrik Antoon Lorentz, vormt de basis van de speciale relativiteitstheorie. Deze theorie werd geponeerd om de tegenstrijdigheden tussen de theorieën van elektromagnetisme en klassieke mechanica uit de wereld te helpen.

De lorentztransformatie is een groepstransformatie die wordt gebruikt om de coördinaten van de tijdruimte van het ene coördinatensysteem S over te dragen op een ander coördinatensysteem S', waarbij S' en S ten opzichte van elkaar een snelheid v in de x-richting hebben.

Definitie[bewerken]

Door de lorentztransformatie wordt tussen de tijdruimte-coördinaten (x, y, z, t) in S en (x', y', z', t') in S'de volgende relatie gelegd, ervan uitgaande dat de beide oorsprongen van de twee coördinatensystemen op elkaar moeten liggen, ofwel (0,0,0,0) in S moet hetzelfde zijn als (0,0,0,0) in S'.

x' = \gamma (x - vt)\,
y' = y\,
z' = z\,
t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)\,

hierin is

\gamma = \frac 1{\sqrt{1 - (\frac vc)^2}}

de zogenoemde lorentzfactor en c de lichtsnelheid.

Vaak wordt als tijdcoördinaat \tau = ct gekozen, de afstand die het licht in vacuüm aflegt in de tijd t. Noemen we de verhouding van de snelheid v tot de lichtsnelheid

\beta =\frac vc\,,

dan worden de relaties:

x' = \gamma (x - \beta\tau)\,
y' = y\,
z' = z\,
\tau' = \gamma (\tau - \beta x)\,

met

\gamma = \frac 1{\sqrt{1 - \beta^2}}

Lorentzinvariantie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie lorentzinvariantie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Grootheden die onder de lorentztransformatie niet veranderen, worden lorentzinvariant genoemd. Het tijdruimte-interval is een lorentzinvariant. Verder geldt dat als elke oplossing voor een bewegingsvergelijking een oplossing van diezelfde vergelijking blijft na lorentztransformatie, dat deze vergelijking een lorentzinvariant is. Alle fundamentele vergelijkingen in de natuurkunde zijn Lorentzinvariant, inclusief de Maxwellvergelijkingen van het elektromagnetisme. Dat wil zeggen dat dezelfde vergelijkingen kunnen worden gebruikt om de natuurkunde te beschrijven vanuit elk willekeurig standpunt, eenparig bewegend of niet.

Door eenvoudige berekening is na te gaan dat de volgende uitdrukking gelijk (invariant) blijft onder de lorentztransformatie:

ds^2 =  dx^2 + dy^2 + dz^2 - d\tau^2\,

Deze grootheid heet daarom lorentzinvariant.

Contractie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie lorentzcontractie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een van de eigenschappen van de tijdruimte die uit de lorentztransformatie volgt is de lorentzcontractie: het feit dat wanneer iets een snelheid heeft die dichtbij de lichtsnelheid ligt, de afgelegde weg korter lijkt dan voor iemand die stilstaat. Dit effect wordt onder andere gebruikt in een undulator op een synchrotron.

Lorentzcontractie wordt ook wel Lorentz-FitzGeraldcontractie genoemd, aangezien de Ierse natuurkundige George Francis FitzGerald onafhankelijk van Lorentz dezelfde contractie had voorgesteld.

Geschiedenis[bewerken]

Lorentz ontdekte in 1900 dat de later naar hem vernoemde transformatie de Maxwellvergelijkingen onveranderd laat (maar de Duitse natuurkundige Woldemar Voigt vond ze al eerder). Albert Einstein ontwikkelde later de speciale relativiteitstheorie, die hierop gebaseerd is.

De lorentz-groep[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie lorentz-groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Net als alle coördinatentransformaties hebben de lorentztransformaties een aantal bijzondere eigenschappen. Je kunt namelijk twee transformaties samenstellen door ze na elkaar uit te voeren. Dit betekent dat je tijd en plaats in een stelsel S eerst omrekent naar een stelsel S' dat beweegt ten opzichte van S en vervolgens naar een derde stelsel S" dat beweegt ten opzichte van S'. Het resultaat is een transformatie van S naar S". Voor het samenstellen gelden een aantal axioma's:

  • Wanneer L en L' lorentztransformaties zijn, is de samenstelling L" = LL' zelf ook een lorentztransformatie.
  • Er is een eenheidstransformatie L zodat voor iedere lorentztransformatie L' geldt LL' = L'.
  • Voor iedere lorentztransformatie L' is er een bijbehorende inverse lorentztransformatie L" zodat L'L"" = L.

Een verzameling transformaties die aan deze eigenschappen voldoet noemt men een Groep (wiskunde). De verzameling van alle lorentztransformaties is zo'n groep. Een groep heeft bijzondere eigenschappen. Met behulp van groepentheorie is het daardoor mogelijk afleidingen efficiënter uit te voeren. De verzameling van Gallileotransformaties uit de klassieke mechanica vormt ook een groep. De groep van alle mogelijke transformaties waarin de lichtsnelheid invariant is vormt de zogenaamde lorentz-groep.

Afleiding: Twee dimensies[bewerken]

De lorentztransformatie wordt afgeleid door transformaties te zoeken waarin de lichtsnelheid invariant is. Over het algemeen wordt hierbij uitgegaan van twee dimensies: de x-coördinaat en de tijd. Als men uitgaat van een lineaire transformatie, dan is die in de meest algemene vorm te schrijven als:

x' = \alpha x + \delta t \,     en    t' = \beta x + \gamma t \,

Hierbij zijn x en t in het laboratoriumstelsel S, x' en t' in het waarnemer stelsels S' dat met een snelheid 'v' beweegt ten opzichte van S en \alpha\,, \beta\,, \delta\, en \gamma\, nog te bepalen functies van die snelheid. Een lichtstraal wordt in S beschreven met: x = ct. In S' heeft deze ook de lichtsnelheid en wordt dus beschreven met: x'= ct'. Hetzelfde geldt voor een lichtstraal in de andere richting (x = -ct → x'= -ct'). Dit levert de volgende vergelijkingen:

+\alpha ct + \delta t = +c ( +\beta ct + \gamma t ) \,     en    -\alpha ct + \delta t = -c ( -\beta ct + \gamma t ) \,

Door deze te combineren vindt men eenvoudig \delta = c^2 \beta \, en \alpha = \gamma \,. De transformatie wordt vereenvoudigd tot:

x' = \gamma x + \beta c^2 t \,     en    t' = \beta x + \gamma t \,

Beschouw als volgende stap de oorsprong van S'. Deze wordt beschreven met x = vt, maar ook met x' = 0, zodat:

x' = \gamma vt + \beta c^2 t = 0\,

Hieruit volgt  \beta = -v \gamma / c^2 \, en dus:

x' = \gamma(v) ( x - v t ) \,     en    t' = \gamma(v) ( -vx/c^2 + t ) \,

Nu rest alleen nog het bepalen van de functie  \gamma(v) . Beschouw hiervoor een derde stelsel S" dat ten opzichte van S' beweegt met snelheid -v. Er volgt een transformatie van S naar S":

x'' = \gamma(v') ( x' - v' t' ) 
= \gamma(-v) ( x' + v t' ) 
= \gamma(-v) \gamma(v) ( (x-vt) + v(-vx/c^2 + t )) 
= \gamma(v)^2 (1 - (v/c)^2) x 
\,
t'' = \gamma(v') ( -v'x'/c^2 + t' ) 
= \gamma(-v) ( vx'/c^2 + t' ) 
= \gamma(-v) \gamma(v) ( v(x-vt)/c^2 + (-vx/c^2 + t ) ) 
= \gamma(v)^2 (1 - (v/c)^2) t 
\,

Hierbij is gebruikt dat vanwege symmetrie: \gamma(-v) = \gamma(v). Voor kwalitatieve veranderingen maakt het immers niet uit welke kant men op beweegt. Er volgt direct dat S en S" niet ten opzichte van elkaar bewegen, zodat S" hetzelfde stelsel moet zijn als S met: x" = x en t" = t. Daarmee vindt men uiteindelijk:

\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}

Hiermee is de lorentztransformatie in één dimensie afgeleid, dat wil zeggen voor de plaats-coördinaat in de richting van 'v'. Om aan te tonen dat alleen een lineaire transformatie mogelijk is, of om de transformatie van richtingen loodrecht op 'v' (hier y en z) af te leiden, heeft men een iets uitgebreidere analyse nodig.

Afleiding: Derde dimensie[bewerken]

In veel afleidingen van de lorentztransformatie, wordt de transformatie van 'y' en 'z' (de coördinaten loodrecht op de beweging van de waarnemer) afgedaan als triviaal omdat zij in ieder stelsel dezelfde waarde hebben. Inderdaad is het voldoende om te controleren dat de de lichtsnelheid bij een gegeven transformatie invariant is (bijvoorbeeld met snelheidstransformatie) om deze te kunnen gebruiken in de relativiteitstheorie. Toch is het de vraag of de transformaties waarbij y en z niet transformeren de enige mogelijkheid zijn. Om dit engiszins te onderzoeken kan men lichtstralen beschouwen die in stelsel S op t=0 worden uitgezonden vanaf de y-as op een punt y = y0 (en x=0). Afhankelijk van de richting kan deze lichtstraal de x-as bereiken op tijdstip t = t1 en positie x = x1 (y = 0), waarbij y02+x12=ct12. In een stelsel S' wordt het bereiken van de x-as gemeten op \mathbf{}x'= \gamma ( x_1 - u t ) en \mathbf{}t' = \gamma ( t - ux_1/c^2 ). Volgens de lorentztransformatie zou de lichtstraal in dit stelsel moeten zijn uitgezonden op t'= 0, x'=0, y'=y0. Wij controleren de afstand:


\sqrt{(y_0-0)^2+(0-\gamma (x_1 - u t))^2}
= \sqrt{y_0^2+(\gamma (x_1 - u t))^2}
\mathbf{}
= \gamma \sqrt{((1-(u/c)^2)((ct)^2-x_1^2)+(x_1-ut)^2)}
\mathbf{}
= \gamma \sqrt{( (ct)^2 + (ux_1/c)^2 -2x_1ut )}
= \gamma \sqrt{ (ct - ux_1/c)^2}
= ct'

De gegeven tijd klopt dus ook in stelsel S' met de afstand. Omdat dat niet voor één lichtstraal geldt maar voor lichtstralen die in alle mogelijke richtingen op alle mogelijke plekken de x-as snijden is dit ook de enige mogelijke tijd en plaats vanwaar de lichtstraal waarop de lichtstraal in S' kan zijn uitgezonden. Hiermee is geenszins bewezen dat de gegeven lorentztransformatie de enige mogelijke, maar wel dat het waarschijnlijk is dat alleen transformaties waarbij voor de y- en z-as geen contractie optreedt mogelijk zijn.