Poincaré-groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de natuurkunde en groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de poincaré-groep, vernoemd naar Henri Poincaré, de groep van coördinatentransformaties van de minkowski-ruimtetijd die de eigentijd behouden. Het is een 10-dimensionale niet-compacte lie-groep. De abelse groep van translatie is een normale deelgroep, terwijl de lorentz-groep een deelgroep is, de "stabilisator" van een punt. Dat wil zeggen dat de volledige poincaré-groep de affiene groep van de lorentz-groep is, het semidirecte product van de translaties van de lorentztransformaties:

\mathbf{R}^{1,3} \rtimes O(1,3).\,

Een andere manier om de poincaré-groep te beschrijven is een groepsuitbreiding van de lorentz-groep door een vector vertegenwoordiging van de poincaré-groep.

Haar positieve energie unitaire onherleidbare representaties worden geïndexeerd door massa (niet-negatief getal) en spin (geheel getal of half geheel getal), die worden geassocieerd met deeltjes in de kwantummechanica.

In overeenstemming met het Erlanger Programm, wordt de meetkunde van de minkowski-ruimte gedefinieerd door de poincaré-groep: de minkowski-ruimte wordt beschouwd als een homogene ruimte voor de groep.

De poincaré-algebra is de lie-algebra van de poincaré-groep. In componentenvorm wordt het poincaré-algebra gegeven door de commutatie relaties:

  • [P_\mu, P_\nu] = 0\,
  • [M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\,
  • [M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\,

waar P de generator van translaties, M de generator van de lorentz-transformaties en \eta de minkowski-metriek is (zie tekenconventie).

De poincaré-groep is de volledige symmetriegroep van een relativistische veldtheorie. Als gevolg daarvan vallen alle elementair deeltjes in de representaties van deze groep. Deze worden meestal gespecificeerd door het viermomentum van elk deeltje (dat wil zeggen haar massa) en de intrinsieke kwantumgetallen JPC, waar J het spinkwantumgetal, P de pariteit en C het ladingconjugatie kwantumgetal is. Veel kwantumveldtheorieën schenden de pariteit en de ladingconjugatie. In die gevallen laat men de P en de C vallen. Aangezien CPT een invariantie van elke kwantumveldentheorie is, zou een tijdsomkeringskwantumgetal gemakkelijk geconstrueerd kunnen worden uit deze gegeven mogelijkheden.

Als een topologische ruimte heeft de poincaré-groep vier samenhangende componenten: de component van de identiteit; de tijdomdraaiingcomponent; de ruimtelijke inversie component; en de component die zowel de tijd als de ruimte omdraait.

Poincaré-symmetrie[bewerken]

Poincaré-symmetrie is de volledige symmetrie van de speciale relativiteitstheorie en omvat

De laatste twee symmetrieën vormen samen de lorentz-groep (zie lorentzinvariantie). Dit zijn de generatoren van een lie-groep, die de poincaré-groep wordt genoemd, een semidirect product van de groep van translaties en de lorentz-groep. Van objecten die onder deze groep invariant zijn, wordt gezegd dat zij een poincaré-invariantie of relativistische invariantie vertonen.

Zie ook[bewerken]