Covariante afgeleide

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In wiskunde en natuurkunde, is de covariante afgeleide een manier om de afgeleide langs een raakvector van een variëteit te definiëren. Ruw gesproken, is het een veralgemening van de notie van afgeleide naar niet-euclidische ruimtes. In de wiskunde is het concept vooral belangrijk voor de differentiaalmeetkunde en ook in natuurkunde in de context van algemene relativiteitstheorie.

Achtergrond[bewerken]

De notie van de Euclidische ruimte en zijn metriek kan men veralgemenen naar meer algemene, gekromde Riemannse variëteit met een plaats-afhankelijke metriek (bilineaire vorm). Op zo een variëteit leven op een natuurlijke wijze tensoren. Deze vormen de veralgemening van scalaire functies en matrices van het Euclidische geval. Bovendien kan men op zeer eenvoudige een notie van afgeleide definiëren: de gradiënt. Deze afgeleide bezit een aantal mooie eigenschappen, maar er is één probleem: het resulterende object is geen tensor meer. Anders gezegd: de gradiënt is afhankelijk van het coördinaten systeem, en dus in zekere zin arbitrair. Het is precies hier waar de covariante afgeleide zijn intrede doet. Deze alternatieve definitie van afgeleide levert wel een tensoriële grootheid op. Dit is dus wel een `absolute' en natuurlijke notie van afgeleide. De covariante afgeleide benut de verbinding, welke nauw verwant is met de notie van rechtdoor gaan op een gekromd oppervlak. Meer bepaald: het geeft de afgeleide langsheen de geodeet in een bepaalde richting. Aangezien geodeten een coördinaat-onafhankelijk begrip zijn, is de afgeleide daarlangs dat ook.

Definitie[bewerken]

Meer precies, kan men de covariante afgeleide van een variëteit definiëren indien men beschikt over een connectie \Gamma. Voor een contravariante tensor  A^\nu is de covariante afgeleide \nabla A^\nu in de \mu-richting gegeven door

\nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu +\Gamma^\nu_{\mu\rho} A^\rho

en voor een covariante tensor door

\nabla_\mu A_\nu= \partial_\mu A_\nu - \Gamma^\rho_{\mu\nu}A_\rho

Voor een Riemann-variëteit is de connectie \Gamma gegeven door de Christoffel-symbolen, gedefinieerd in termen van de metriek als volgt:

\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}=\frac{1}{2}g^{\alpha \epsilon} (\partial_\gamma g_{\beta \epsilon}+\partial_\beta g_{\gamma\epsilon}-\partial_\epsilon g_{\beta\gamma}).

Indien men de covariante afgeleide wenst te nemen van een tensor met meerdere indices, neemt men de gewone afgeleide, plus een extra term co- of contravariante index, met het teken zoals in de twee uitdrukkingen hoger. Uitgeschreven:

 (\nabla_c T)^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s} = \frac{\partial}{\partial x^c}T^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s}+\,\Gamma ^{a_1}{}_{dc} T ^{d \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s} + \ldots + \Gamma ^{a_r}{}_{dc} T ^{a_1 \ldots a_{r-1}d}{}_{b_1 \ldots b_s}
 -\,\Gamma ^d {}_{b_1 c} T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{d \ldots b_s} - \ldots - \Gamma ^d {}_{b_s c} T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_{s-1} d}.

Merk op dat in de bovenste twee uitdrukkingen, geen van de leden in het rechterlid tensoren zijn. Als men hun transformatieregels combineert echter, verkrijgt men wel een tensor. Dat bevestigt dat de covariante afgeleide wel degelijk een tensor oplevert (waarvan de covariante rank één hoger is dan de oorspronkelijke tensor).

Zie ook[bewerken]