Positief-definiet

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een bilineaire of sesquilineaire vorm heet positief-definiet als hij identieke geordende paren die niet nul zijn, afbeeldt op strikt positieve getallen.

Formele definitie[bewerken]

Zij \langle\cdot,\cdot\rangle een bilineaire vorm op een reële vectorruimte V:

\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R}:(x,y)\mapsto \langle x,y\rangle

Deze vorm is positief definiet als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is:

  1. De functie is positief, dat wil zeggen \forall\,x \in V:\langle x,x\rangle \geq 0;
  2. de functie is niet-ontaard, dat wil zeggen \forall\,x \in V:\langle x,x\rangle = 0\Leftrightarrow x=0

Deze definitie blijft ongewijzigd gelden voor een sesquilineaire vorm op een complexe vectorruimte.

Voorbeelden[bewerken]

  • Een voorbeeld van een positief definiete bilineaire vorm is het klassiek inproduct op \R^n:
\langle\cdot, \cdot \rangle:\R^n\times\R^n\to \R:(\bold{x},\bold{y})\mapsto \langle\bold{x},\bold{y}\rangle=\sum_{i=1}^nx_iy_i
  • Het product van een complex getal met de toegevoegde van een ander complex getal vormt een positief definiete sesquilineaire vorm op \mathbb{C} zelf, want x.\overline x=|x|^2
  • De volgende bilineaire vorm is niet positief en dus zeker niet positief definiet:
\langle\cdot, \cdot \rangle:\R^n\times\R^n\to \R:(\bold{x},\bold{y})\mapsto \langle\bold{x},\bold{y}\rangle=\sum_{i=1}^n (-1)^i x_iy_i

Veralgemening[bewerken]

De definitie kan worden gehandhaafd voor willekeurige bilineaire vormen op modulen over geordende ringen.