Inwendig product

Meetkundige betekenis inwendig product A.B is: lengte van B × lengte van projectie van A op B

Het inwendig product (ook wel inproduct of scalair product genoemd) $\bold{u} \cdot \bold{v}$ van twee vectoren $\bold{u}$ en $\bold{v}$ is een begrip uit de lineaire algebra. Ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De meest bekende vorm komt uit de euclidische meetkunde en is gedefinieerd als:

$\, \bold{u} \cdot \bold{v} = |\bold{u}| |\bold{v}| \cos \theta$

waarin $\, \theta$ de hoek tussen de vectoren is.

Men noteert het inproduct ook wel als:

$\, \bold{u} \cdot \bold{v} = (\bold{u},\bold{v}) = \langle \bold{u},\bold{v}\rangle = \langle \bold{u}|\bold{v}\rangle \!$

Voor deze definitie is het dus nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat. Als de vectoren $\bold{u}$ en $\bold{v}$ elementen zijn van de $\mathbb{R}^n$, de n-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

$\, \bold{u}=(u_1, u_2, ... , u_n)\!$

en

$\, \bold{v}=(v_1, v_2, ... , v_n)\!$

kan het inwendig product onafhankelijk van het begrip hoek geschreven worden als:

$\, \bold{u} \cdot \bold{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n = \sum^{n}_{i=1} u_i v_i$.

Daarmee kan dan de hoek tussen de beide vectoren afgeleid worden uit het inproduct.

Eigenschappen

• Als $\bold{u}$ en $\bold{v}$ loodrecht op elkaar staan, is hun inproduct gelijk aan 0.

• Het inwendig product van vectoren uit een reële vectorruimte is commutatief: $\bold{u} \cdot \bold{v} = \bold{v} \cdot \bold{u}$

Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echter niet meer noodzakelijk commutatief.

Algemene definitie

Een inwendig product, ook inproduct of scalair product geheten, op een reële vectorruimte V is een symmetrische positief definiete bilineaire vorm $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb R$. Dat wil zeggen dat voor $x,y,z\in V$ en $\lambda\in\mathbb R$ aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

1. bilinear:
   • $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
   • $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
   • $\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$
2. symmetrisch: $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$
3. positief definiet: $\langle x,x \rangle \geq 0$ voor alle x en $\langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Een inwendig product of inproduct op een complexe vectorruimte V is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb C$. Dat wil zeggen dat voor $x,y,z\in V$ en $\lambda\in\mathbb C$ aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

1. sesquilineair:
   • $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
   • $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
   • $\langle x,\bar\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$
2. hermitisch: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$
3. positief definiet: $\langle x,x\rangle > 0$ voor $x \ne 0$

Hier is $\overline{z}$ de complex geconjugeerde van z.

Voorbeelden

De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:

• van vectoren:
  • $\bold{v} \cdot \bold{u} = \bold{v}^H \bold{u}$ (waarin H staat voor de hermitisch toegevoegde van een vector);
  • $\bold{v} \cdot \bold{u} = \bold{v}^T \bold{u}$;
• in een vectorruimte van reëel- of complexwaardige integreerbare functies:
  • $f \cdot g=\int_a^b{f(t)\overline{g(t)}dt}$
  • $f \cdot g=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(t)\overline{g(t)}dt}$,

waarbij $\overline{g(t)}$ staat voor de complex geconjugeerde van g(t).

Afhankelijk van de keuze van de vectorruimte van functies, is het positief definiete karakter van dit inproduct niet altijd gegarandeerd; soms moeten equivalentieklassen beschouwd worden van functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn - zie ook Lp-ruimte

• van matrices:
  • $A \cdot B=\mathrm{tr}(A^H B)$

Norm

Bij een inproduct op een willekeurige reële of complexe vectorruimte hoort op natuurlijke wijze een norm

$\|x\| := \sqrt{\langle x,x\rangle}$

Een genormeerde vectorruimte, waarvan de norm op dergelijke wijze afkomstig is van een inproduct, heet een prehilbertruimte, omdat haar metrische vervollediging een Hilbertruimte is.

Het inproduct kan steeds uit de norm worden gereconstrueerd. In een reële prehilbertruimte geldt

$2\langle x,y\rangle=\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle=\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2$

In een complexe prehilbertruimte daarentegen hebben we

$2\langle x,y\rangle=\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+i(\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle) =\|x+y\|^2-\|x-iy\|^2$

Hoek

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz begrenst het inproduct van twee willekeurige vectoren door het product van hun normen:

$\forall x,y\in V:\left|\langle x,y\rangle\right|\leq\|x\|.\|y\|$

De hoek $\alpha$ tussen x en y wordt gegeven door

$\cos( \alpha ) = \frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}$

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz garandeert dat het reële deel van het rechterlid tussen -1 en 1 ligt.

Zie ook

• Orthogonaal
• Laguerre-polynoom
• Hilbertruimte

Externe links

• Minder abstracte uitleg