Lijnintegraal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De lijnintegraal over een scalairenveld f kan men zich voorstellen als de oppervlakte onder de kromme C, gelegen op een oppervlak z = f(x,y), dat beschreven wordt door het scalairenveld.

Het begrip lijnintegraal is een van de veralgemeningen van het klassieke (Riemannse) integraalbegrip tot meerdimensionale ruimten. Het domein van de gegeven functie is niet langer een reëel interval, maar een stuksgewijs differentieerbare kromme in een meerdimensionale ruimte (of algemener, een variëteit met een booglengtebegrip).

Om de lijnintegraal van de scalaire functie f over de boog AB op de kromme K te bepalen, wordt de boog opgedeeld in n stukjes door de punten x_0, x_1, \cdots ,x_n\,. Bij deze opdeling hoort een Riemannsom

\sum_{k=1}^{n} f(a_k)\Delta s_k\,,

waarin \Delta s_k de lengte van de boog tussen de punten x_{k-1} en x_k is en a_k een punt op deze boog. Als in een bepaald limietproces bij voorgaande verfijning van de opdeling de Riemannsommen convergeren, noemt men de limiet de lijnintegraal

\int_{AB} f\ \mathrm{d}s

Kringintegraal[bewerken]

Als de kromme C waarover geïntegreerd wordt gesloten is, heeft het beginpunt geen invloed op de lijnintegraal. Men kan dus integreren over een vrije lus. Men spreekt dan van een kringintegraal of contourintegraal, genoteerd als:

\oint_C f\ \mathrm{d}s

Parametrisering[bewerken]

Als de boog AB geparametriseerd is door de bijectie

g: [a,b] \to \R^n\,,

waarbij a en b vectoren in ruimte \R^n zijn waarvoor A = g(a) en B = g(b),

kan de lijnintegraal geschreven worden als:

\int_{AB} f\, \mathrm{d}s = \int_a^b f(g(t))\ \|g'(t)\|\ \mathrm{d}t.

Hierbij is t de parameter waarmee het door g gedefinieerde traject in de ruimte \R^n doorlopen wordt.

Voorbeeld[bewerken]

Is een rondgang van een schroeflijn langer dan een cirkel met dezelfde straal? We geven de schroeflijn voor 0<t<1 door:

\,x(t)=\rho \cos(2\pi t)
\,y(t)=\rho \sin(2\pi t)
\,z(t)=\alpha t

De lengte L van de boog bij één rondgang (van A naar B) is:

L = \int_{AB} 1\mathrm{d}s =\int_0^1 \|g'(t)\|\mathrm{d}t=
=\int_0^1 \sqrt{(2\pi\rho)^2(\sin^2(2\pi t)+\cos^2(2\pi t))+\alpha^2}\ \mathrm{d}t=\sqrt{(2\pi\rho)^2+\alpha^2},

dus zo lang als de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden de spoed α en de omtrek van een cirkel met straal ρ. De omtrek van een cirkel is dus kleiner dan deze weglengte indien α ≠ 0.

Complexe lijnintegraal[bewerken]

In de complexe analyse kan het product F(a_k, b_k)\Delta s_k geïnterpreteerd worden als een vermenigvuldiging van complexe getallen. Het eerste belangrijke resultaat van de complexe analyse luidt als volgt

Integraaltheorema van Cauchy[bewerken]

Als het domein van een complex differentieerbare functie enkelvoudig samenhangend is (dat wil zeggen “geen gaten heeft”), dan is de lijnintegraal van die functie tussen twee gegeven punten in het domein, onafhankelijk van de gekozen weg. Een voorbeeld is het gravitatieveld. Dit theorema kan als volgt worden geformuleerd:

\oint_C f(z)dz = 0

Elke kringintegraal van zo'n functie is dus gelijk aan nul.