Integraalformule van Cauchy

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De integraalformule van Cauchy, vernoemd naar Augustin Louis Cauchy, is een centrale stelling in de complexe analyse (een deelgebied van de wiskunde). De stelling zegt dat een Holomorfe functie, die gedefinieerd is op een schijf, volledig wordt bepaald door haar waarden op de begrenzing van de schijf. De integraalformule van Cauchy kan worden gebruikt om integraalformules te verkrijgen voor alle afgeleiden van een holomorfe functie en toont aan dat in de complexe analyse "differentiatie gelijkwaardig is aan integratie": complexe differentiatie gedraagt zich, net als integratie, goed als uniforme limieten genomen worden. Dit geldt niet in de reële analyse.

Stelling[bewerken]

Stel dat U een open deelverzameling van het complexe vlak C is, f : UC een holomorfe functie is en stel dat de gesloten schijf D = { z : | z - z0 | ≤ r } volledig is opgenomen in U. Laat γ de cirkel zijn, die de begrenzing van gesloten schijf D vormt. Dan geldt voor iedere a in het inwendige van D:

f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma {f(z) \over z-a}\, dz

waar de contourintegraal \oint_\gamma langs de contour \gamma tegen de klok in wordt genomen.

Het bewijs van deze stelling maakt gebruik van de integraalstelling van Cauchy en vereist van f eveneens slechts dat deze functie complex differentieerbaar is. Aangezien de noemer van de integrand in de integraalformule van Cauchy kan worden uitgebreid als een machtreeks in de variabele (a - z0), volgt hieruit dat holomorfe functies analytisch zijn. In het bijzonder is f eigenlijk oneindig differentieerbaar, met

f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \oint_\gamma {f(z) \over (z-a)^{n+1}}\, dz.

Deze formule wordt soms de differentiatieformule van Bach genoemd.

De cirkel γ kan worden vervangen door elke gesloten corrigeerbare kromme in U waarvan het windingsgetal om a gelijk aan 1 is. Bovendien is het, net als voor de integraalstelling van Cauchy, voldoende om te eisen dat f holomorf is in de open regio, die wordt omsloten door het pad, en continu is op haar afsluiting.

Bewijs[bewerken]

Door gebruik te maken van de integraalstelling van Cauchy kan men laten zien dat de integraal over C (of de gesloten corrigeerbare kromme) gelijk is aan dezelfde integraal over een willekeurig kleine cirkel rond a.

1. Aangezien f(z) een continue functie is, kunnen we een cirkel om a kiezen die klein genoeg is en waarop f(z) willekeurig dichtbij f(a) ligt.

2. Aan de andere kant is de integraal

\oint_C { {1 \over z-a} \,dz} = 2 \pi i

over elke cirkel C die gecentreerd is op a. Bewijs: we kunnen deze kleine cirkel om z - a als volgt parametriseren:

 z = a + \varepsilon e^{it} ,
 \,dz = i \varepsilon e^{it}

met  0 \leq t \leq 2 \pi en \varepsilon de straal van de cirkel. Met integratie door substitutie vinden we

\oint_C { {1 \over z-a} \,dz} = 
\int_0^{2 \pi} {1 \over {\varepsilon e^{it}} } i \varepsilon e^{it}\,dt = 
i \, \int_0^{2 \pi} \,dt = 
2 \pi i.


3. Nu kunnen we schrijven

 f(a) = 
\frac{1}{2 \pi i} \, f(a) \, 2 \pi i =
\frac{1}{2 \pi i} \, f(a) \, \oint_C { {1 \over z-a} \,dz} =
\frac{1}{2 \pi i} \, \oint_C { \frac{f(a)}{z-a} \,dz}

want f(a) is een constante.

4. Invullen en \varepsilon \rightarrow 0 laten naderen geeft

\frac{1}{2 \pi i} \oint_C { {f(z) \over z-a} \,dz}  - f(a) =
\frac{1}{2 \pi i} \oint_C { {f(z) \over z-a} \,dz}  - \frac{1}{2 \pi i} \, \oint_C { \frac{f(a)}{z-a} \,dz} =

\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{ f(z) \, - \, f(a) } {z-a} \,dz =

\frac{1}{2 \pi i} \int_0^{2 \pi} \frac{ ( f(a + \varepsilon e^{it}) - f(a) )i \varepsilon e^{it} } {\varepsilon e^{it}} \,dt =

\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} ( f(a + \varepsilon e^{it}) - f(a) ) \,dt
\rightarrow 0 als \varepsilon \rightarrow 0.


want f(z) is een continue functie. Dus


f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C  {f(z) \over z-a} \,dz.

Voorbeeld[bewerken]

Oppervlak van de absolute waarde van
g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2)
en haar singulariteiten.
\begin{align}\oint_C {z^2 \over z^2+2z+2}\,dz &{}= -4\pi i.\end{align}

met contour C beschreven door |z| = 2, een cirkel met straal 2.

Bewijs. We noemen de functie

{z^2 \over z^2+2z+2} = g(z)

Om de integraal van g(z) langs de contour C te vinden, moeten we de singulariteiten of polen van g(z) binnen C kennen. Die vinden we door g als volgt te herschrijven:

g(z)={z^2 \over (z-z_1)(z-z_2)},

met de twee polen z_1=-1+i, en z_2=-1-i.

Hun absolute waardes zijn volgens de stelling van Pythagoras \sqrt 2, dus kleiner dan 2 zodat de polen binnen de contour C liggen. Door de stelling van Cauchy-Goursat kunnen we de integraal rondom de contour uitdrukken als de som van de integralen rondom de polen z_1 en z_2, waar de contour steeds een kleine cirkel rond elke pool is. Noem deze contouren C_1 rondom z_1 en C_2 rondom z_2. Dus

\oint_{C} {g(z) dz} = \oint_{C_1} {g(z) dz} + \oint_{C_2} {g(z) dz}

We kiezen een functie f_1 die analytisch is langs C_1 (dit aangezien de contour C_1 de andere singulariteit z_2 niet bevat), en dit staat ons toe om f_1 in de vorm te schrijven die we vereisen, namelijk:

f_1(z)={z^2 \over z-z_2}.

Nu geldt dat

\oint_{C_1} {g(z) dz} = \oint_{C_1} {f_1(z) \over z-z_1}\, dz=2\pi i f_1(z_1)
\oint_{C_1} {\left({z^2 \over z-z_2}\right) \over z-z_1}\,dz=2\pi i{z_1^2 \over z_1-z_2}.

Als men hetzelfde doet voor de andere contour C_2:

f_2(z)={z^2 \over z-z_1},
\oint_{C_2} {\left({z^2 \over z-z_1}\right) \over z-z_2}\,dz=2\pi i{z_2^2 \over z_2-z_1}.

De integraal langs de originele contour C is dan de som van deze twee integralen:

\begin{align}\oint_C {z^2 \over z^2+2z+2}\,dz &{}= \oint_{C_1} {\left({z^2 \over z-z_2}\right) \over z-z_1}\,dz + \oint_{C_2} {\left({z^2 \over z-z_1}\right) \over z-z_2}\,dz \\  \\
&{}= 2\pi i\left({z_1^2 \over z_1-z_2}+{z_2^2 \over z_2-z_1}\right) \\  \\
&{}= 2\pi i\left({z_1 + z_2} \right) \\  \\
&{}=2\pi i(-2) \\  \\
&{}=-4\pi i.\end{align}

Externe link[bewerken]