Eerlijk delen

Eerlijk delen (ook wel halve substitutie genoemd) is in de analytische meetkunde een techniek (algoritme) waarmee de vergelijking van een raaklijn aan een vlakke tweedegraadskromme (kegelsnede) direct uit de vergelijking van die kromme kan worden afgeleid.

Als in een standaard cartesisch coördinatenstelsel een dergelijke kromme gegeven is, waarvan de algemene vergelijking luidt:

$C\equiv ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$

en op die kromme ligt het punt $P=(p,q)$, dan bestaat de techniek uit het toepassen van, waar mogelijk, de volgende substituties in de vergelijking van de kromme:

• $x^{2}=x\cdot x\to p\cdot x$
• $y^{2}=y\cdot y\to q\cdot y$
• $xy={\tfrac {1}{2}}(xy+xy)\to {\tfrac {1}{2}}(p\cdot y+x\cdot q)$
• $x={\tfrac {1}{2}}(x+x)\to {\tfrac {1}{2}}(x+p)$
• $y={\tfrac {1}{2}}(y+y)\to {\tfrac {1}{2}}(y+q)$

De getallen $p$ en $q$ worden hierbij dus eerlijk verdeeld over de variabelen $x$ en $y$: de helft van de $x$-en wordt vervangen door $p$ en de helft van de $y$-en wordt vervangen door $q$.

Toepassing van bovenstaande substitutieregels op de vergelijking $C=0$ geeft:

$apx+{\tfrac {1}{2}}b(py+qx)+cqy+{\tfrac {1}{2}}d(x+p)+{\tfrac {1}{2}}e(y+q)+f=0$

of, na ordening:

$L\equiv (ap+{\tfrac {1}{2}}bq+{\tfrac {1}{2}}d)x+(cq+{\tfrac {1}{2}}bp+{\tfrac {1}{2}}e)y+({\tfrac {1}{2}}dp+{\tfrac {1}{2}}eq+f)=0$

De vergelijking $L=0$ is een vergelijking van een rechte lijn. Als het punt $P$ op de kromme ligt, gaat die lijn door dat punt. Immers, als de coördinaten van $P$ voldoen aan de vergelijking $C=0$, dan voldoen ze ook aan de vergelijking $L=0$.

De richtingscoëfficiënt $r$ van deze lijn is:

$r=-{\frac {ap+{\tfrac {1}{2}}bq+{\tfrac {1}{2}}d}{cq+{\tfrac {1}{2}}bp+{\tfrac {1}{2}}e}}=-{\frac {2ap+bq+d}{2cq+bp+e}}$

De zo bepaalde lijn is de raaklijn aan de kromme in het punt $P$

Bewijs

Uit de algemene vergelijking $C=0$ van de kromme volgt door impliciet differentiëren:

$2ax+by+bx{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+2cy{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+d+e{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0$

Ordening geeft:

$(bx+2cy+e){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-(2ax+by+d)$

zodat:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {2ax+by+d}{bx+2cy+e}}$

De waarde $D_{P}$ van de afgeleide in het punt $P=(p,q)$ van de kromme is dan:

$D_{P}=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right){\Bigg |}_{(x,y)=(p,q)}=-{\frac {2ap+bq+d}{bp+2cq+e}}$

$D_{P}$ is gelijk aan de richtingscoefficient $r$ van van de lijn door $P$. Daaruit volgt dat de lijn met vergelijking $L=0$ de raaklijn is in het punt $P$ aan de kromme.

Voorbeelden

1. Cirkel

$C\equiv x^{2}+y^{2}-25=0$ en $P=(3,4)$, zodat $p=3,q=4$

Eerlijk delen levert als vergelijking voor de raaklijn $L$:

$L\equiv 3x+4y-25=0$

Snijpunten met de cirkel:

$4y=25-3x$

$16x^{2}+(25-3x)^{2}-400=0$

$x^{2}-6x+9=0$

dus $x=3,\,y=4$ is het enige gemeenschappelijke punt.

2. Parabool

$C\equiv y^{2}-2rx=0$ en $P=(x_{0},y_{0})$

Dan is:

$y\cdot y-rx-rx=0$

Dus:

$L\equiv y_{0}y-rx-rx_{0}=0$

Deze vergelijking wordt meestal geschreven als $y_{0}y=r(x+x_{0})$.

3. Hyperbool

Raaklijn aan de hyperbool $C=0$ in het punt $P$

$C\equiv 3x^{2}-7xy+2y^{2}+3x-2y+12=0$ en $P=(2,3)$

Zodat:

$3x\cdot x-{\tfrac {7}{2}}(xy+xy)+2y\cdot y+{\tfrac {3}{2}}(x+x)-(y+y)+12=0$

De vergelijking van de raaklijn in het punt $P$ aan de hyperbool is dan:

$6x-{\tfrac {7}{2}}(2y+3x)+6y+{\tfrac {3}{2}}(x+2)-(y+3)+12=0$

of ook:

$-3x-2y+12=0$ of: $3x+2y=12$

Toepassing op middelpunts- en topvergelijking

Is de zogeheten middelpuntsvergelijking van een cirkel − het middelpunt is $M=(a,b)$:

${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{r}^{2}}$

dan is deze vergelijking te schrijven als:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=0$

De vergelijking van de raaklijn in het punt $P=(p,q)$ van de cirkel is dan met “eerlijk delen”:

$px+qy-a(x+p)-b(y+q)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=0$

of, na ordening:

$(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)={{r}^{2}}$

Wordt de vergelijking van de cirkel geschreven als:

$(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)={{r}^{2}}$

dan blijkt dat ook deze schrijfwijze zich leent voor “eerlijk delen”.

Dit is ook van toepassing op de middelpuntsvergelijking van een ellips en van een hyperbool.

De topvergelijking van een parabool − de top is het punt $T=(a,b)$ − luidt:

${{(y-b)}^{2}}=2r(x-a)$ of ook: $(y-b)(y-b)=r(x+x-2a)$

Uitgewerkt en op 0 herleid:

${{y}^{2}}-2by-2rx+{{b}^{2}}+2ra=0$

De vergelijking van de raaklijn in het punt $P=(p,q)$ van de parabool is dan met "eerlijk delen":

$qy-b(y+q)-r(x+p)+{{b}^{2}}+2ra=0$

of:

$(q-b)(y-b)=r(x+p-2a)$

Waaruit blijkt dat ook bij de topvergelijking van de parabool de eerlijk-delentechniek kan worden toegepast.

Poollijn

Als het punt $P$ niet ligt op de kegelsnede met algemene vergelijking $C=0$, dan is de rechte lijn met vergelijking $L=0$ de zogeheten poollijn van $P$ bij die kegelsnede.

Uit de theorie van de poolverwantschap bij kegelsneden volgt dat de eerlijk-delentechniek voor het bepalen van de vergelijking van een poollijn bij alle typen reële kegelsneden kan worden toegepast.

Pooltheorie

Ondergenoemde auteurs presenteren de pooltheorie als een bijzondere eigenschap van kegelsneden. Men hangt de poollijn namelijk op aan het raaklijnbegrip. Zo wordt de indruk gewekt dat de pooltheorie op het fundament van de differentiaalrekening rust. Dit is historisch noch wiskundig gezien het geval. De raaklijn van een kegelsnede is immers een speciaal geval van een poollijn. Zonder gebruik van differentiaalrekening leidde Joreph Gergonne de pooltheorie af uit meetkundige dualiteit en introduceerde de woorden pool en poollijn;

Bronnen

• J. Bijl, W.J.H. Salet (1962): Analytische meetkunde. Delft: Delftsche Uitgevers Maatschappij N.V.; blz. 85-89, blz. 141–150.
• D.J.E. Schrek (1959): Beknopte Analytische Meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; blz. 50–53, blz. 108–111 (4e druk, 1963).

Noten