Elektrodynamica

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Elektromagnetisme
Lightning strike jan 2007.jpg
Elektriciteit · Magnetisme

Elektrodynamica is de fysica die elektromagnetische effecten beschrijft. Ze is ontwikkeld door onder andere Ampère, Gauss, Faraday maar vooral door Maxwell. Het is een bijzonder elegante theorie, en gaat op wanneer de lengteschalen niet zo klein worden dat er kwantummechanische effecten op gaan treden.

Inleiding[bewerken]

De basis van de elektrodynamica ligt in de vergelijkingen van Maxwell; bijna de complete theorie kan uit deze vier vergelijkingen worden afgeleid. Deze vergelijkingen beschrijven hoe elektrische en magnetische velden (E en B, respectievelijk) opgewekt worden uit ladingsverdelingen ρ en stroomdichtheden J, en hoe een veranderend elektrisch veld een magnetisch veld op kan wekken en andersom. De vergelijking

 \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}),

waarin F (de lorentzkracht) de kracht is die de elektrische en magnetische velden uitoefenen op een deeltje met lading q, maakt het af.

In de Maxwellvergelijkingen staat beschreven hoe je de lading- en stroomdichtheid kan berekenen als je de elektrische en magnetische velden kent. Vaak moet dit juist de andere kant op: de lading- en stroomdichtheden zijn ten slotte wat we kunnen beïnvloeden, en het elektrische en magnetische veld moet daaruit berekend worden.

Potentialen[bewerken]

Vaak wordt er bij de berekening van het veld een hulpmiddel gebruikt die de berekening eenvoudiger maakt: de potentiaal. De elektrische potentiaal kan als volgt berekend worden:

\phi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,d^3r'

en de magnetische door

\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,d^3r',

waarbij t_r in beide formules wordt gegeven door t - c^{-1}|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|. (In deze grootheid stelt c^{-1}|\mathbf{r} - \mathbf{r}'| de tijd voor die een verandering op r' erover doet om op r aan te komen.)

Voor het elektrische veld geldt dan

\mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},

en voor het magnetische veld

\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}.

(\nabla wordt Nabla of ook wel del genoemd, en staat hier voor \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)).

Lagrangiaan[bewerken]

De Lagrangiaan van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld is[1]

 L = - {mc^2 \over \gamma} -q \phi +q \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} .

 \gamma = (1-v^2/c^2)^{-1/2} is de Lorentzfactor.

De gegeneraliseerde impuls van het deeltje is

 { \partial L \over \partial \mathbf{v} } = \gamma m \mathbf{v} + q \mathbf{A} =
 \mathbf{p} + q \mathbf{A} .

De bewegingsvergelijking is

{d ( \mathbf{p} + q \mathbf{A} ) \over dt} = \nabla L = -q\nabla \phi + q\nabla ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} ) .

 d\mathbf{A} / dt = \partial \mathbf{A} / \partial t + ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{A} langs de baan van het deeltje en

 \nabla ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} ) = ( \mathbf{v} \cdot \nabla )\mathbf{A} + \mathbf{v} \times ( \nabla \times \mathbf{A} ) , zie Vectoranalyse. Dus

{d \mathbf{p} \over dt} = -q{\partial \mathbf{A} \over \partial t} -q\nabla \phi + q \mathbf{v} \times ( \nabla \times \mathbf{A} ) = q\mathbf{E} + q \mathbf{v} \times \mathbf{B} .

Elektrostatica[bewerken]

Wanneer de lading- en stroomdichtheden niet van de tijd afhangen, veranderen de elektrische en magnetische velden ook niet meer, volgens de Maxwellvergelijkingen. De bovenstaande vergelijking voor E vereenvoudigt dan tot

\mathbf{E} = -\nabla\phi.

In de formules voor de elektrische en magnetische potentialen verandert niets, behalve dat de tijdsafhankelijkheid van de ladings- en stroomdichtheden verdwijnen. De vergelijking voor B uit A verandert ook niet.

In de meeste gevallen zullen bovenstaande integralen niet of zeer moeilijk analytisch op te lossen zijn. In de statica bestaan er echter nog twee handige formules (die in feite herformuleringen zijn van twee vergelijkingen van Maxwell), namelijk

  • \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \epsilon_0^{-1}Q_{enc} (de wet van Gauss). In deze formule is Q_{enc} de lading die door het oppervlakte waarover wordt geïntegreerd wordt ingesloten.
  • \oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{enc}, waarbij I_{enc} de stroom is die door de lus heengaat waarover wordt geïntegreerd.

Wanneer E en B constant zijn over het oppervlak of de lus waarover ze geïntegreerd worden, kunnen ze buiten de integraal worden gehaald, waarna ze direct uit te rekenen zijn. Dit kan echter alleen bij objecten van grote symmetrie, zoals bollen, cilinders en platen.

Elektromagnetische straling[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Elektromagnetische straling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Wanneer op de laatste twee vergelijkingen van Maxwell in vacuüm het uitproduct wordt toegepast, volgt

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},

en eenzelfde vergelijking voor B. Dit type vergelijking wordt een golfvergelijking genoemd, omdat de oplossing ervan een golffverschijnsel beschrijft. De snelheid van dit golffverschijnsel is (\epsilon_0\mu_0)^{-1/2}, die wanneer uitgerekend precies de lichtsnelheid blijkt te zijn. Hieruit kan geconcludeerd worden dat licht een elektromagnetische straling is (met een nogal specifiek frequentiespectrum).

Referenties[bewerken]

  1. L D Landau, E M Lifshitz, The classical Theory of Fields, Pergamon Press 1975, par.16