Elektrodynamica

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Elektromagnetisme
Lightning strike jan 2007.jpg
Elektriciteit · Magnetisme

Elektrodynamica is de natuurkunde die elektromagnetische effecten beschrijft. Ze is ontwikkeld door onder andere Ampère, Gauss, Faraday, maar vooral door Maxwell. Het is een bijzonder elegante theorie en geldt totdat de lengteschalen zo klein worden dat er kwantummechanische effecten op treden.

Inleiding[bewerken]

De elektrodynamica is gebaseerd op de wetten van Maxwell, bijna de complete theorie kan uit de vier vergelijkingen worden afgeleid. Zij beschrijven hoe elektrische en magnetische velden, respectievelijk E en B, uit ladingsverdelingen ρ en stroomdichtheden J worden opgewekt, hoe een veranderend elektrisch veld een magnetisch veld op kan wekken en andersom. De vergelijking

 \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}),

waarin F, de lorentzkracht, de kracht is die de elektrische en magnetische velden uitoefenen op een deeltje met lading q, maakt het af.

In de Maxwellvergelijkingen staat beschreven hoe je de lading- en stroomdichtheid kan berekenen als je de elektrische en magnetische velden kent. Vaak moet dit juist de andere kant op: de lading- en stroomdichtheden zijn ten slotte wat we kunnen beïnvloeden, en het elektrische en magnetische veld moet daaruit berekend worden.

Potentialen[bewerken]

Vaak wordt er bij de berekening van het veld een hulpmiddel gebruikt, dat de berekening eenvoudiger maakt: de potentiaal. De elektrische potentiaal kan als volgt worden berekend:

\phi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,d^3r'

en de magnetische door

\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,d^3r',

waarbij t_r in beide formules wordt gegeven door t - c^{-1}|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|.

Hierin is c^{-1}|\mathbf{r} - \mathbf{r}'| de tijd die een verandering op r' erover doet om op r aan te komen.

Voor het elektrische veld geldt

\mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},

en voor het magnetische veld

\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}.

\nabla is de nablavector, of alleen del, en is gedefiniëerd als \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right).

Lagrangiaan[bewerken]

De Lagrangiaan van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld is[1]

 L = - {mc^2 \over \gamma} -q \phi +q \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} .

 \gamma = (1-v^2/c^2)^{-1/2} is de Lorentzfactor.


De gegeneraliseerde impuls van het deeltje is

 { \partial L \over \partial \mathbf{v} } = \gamma m \mathbf{v} + q \mathbf{A} =
 \mathbf{p} + q \mathbf{A} .

De bewegingsvergelijking is

{d ( \mathbf{p} + q \mathbf{A} ) \over dt} = \nabla L = -q\nabla \phi + q\nabla ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} ) .


 d\mathbf{A} / dt = \partial \mathbf{A} / \partial t + ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{A} langs de baan van het deeltje en


 \nabla ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} ) = ( \mathbf{v} \cdot \nabla )\mathbf{A} + \mathbf{v} \times ( \nabla \times \mathbf{A} ) , volgens de vectoranalyse. Dus


{d \mathbf{p} \over dt} = -q{\partial \mathbf{A} \over \partial t} -q\nabla \phi + q \mathbf{v} \times ( \nabla \times \mathbf{A} ) = q\mathbf{E} + q \mathbf{v} \times \mathbf{B} .

Elektrostatica[bewerken]

Wanneer de lading- en stroomdichtheden niet van de tijd afhangen, veranderen de elektrische en magnetische velden volgens de Maxwellvergelijkingen ook niet meer. De bovenstaande vergelijking voor E is dan te vereenvoudigen tot

\mathbf{E} = -\nabla\phi.

In de formules voor de elektrische en magnetische potentialen verandert niets, behalve dat de tijdsafhankelijkheid van de ladings- en stroomdichtheden verdwijnen. De vergelijking voor B uit A verandert ook niet.

In de meeste gevallen is het onmogelijk of zeer moeilijk de bovenstaande integralen analytisch op te lossen. In de statica bestaan er echter nog twee handige formules, die in feite twee vergelijkingen van Maxwell zijn, maar anders geformuleerd, namelijk

  • \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \epsilon_0^{-1}Q_{enc}, de wet van Gauss. In deze formule is Q_{enc} de lading die wordt ingesloten door het oppervlakte waarover wordt geïntegreerd.
  • \oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{enc}, waarbij I_{enc} de stroom is die door de lus heengaat waarover wordt geïntegreerd.

Wanneer E en B constant zijn over het oppervlak of de lus waarover ze geïntegreerd worden, kunnen ze buiten de integraal worden gehaald, waarna ze direct zijn uit te rekenen. Dit kan alleen bij objecten die symmetrisch zijn, zoals bollen, cilinders en platen.

Elektromagnetische straling[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Elektromagnetische straling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Wanneer op de laatste twee vergelijkingen van Maxwell in vacuüm het uitproduct wordt toegepast, volgt

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},

en eenzelfde vergelijking voor B. Dit type vergelijking wordt een golfvergelijking genoemd, omdat de oplossing ervan een golffverschijnsel beschrijft. De snelheid van dit golffverschijnsel is (\epsilon_0\mu_0)^{-1/2}, die wanneer uitgerekend precies de lichtsnelheid blijkt te zijn. Hieruit kan worden geconcludeerd dat licht een elektromagnetische straling is, met een nogal specifiek frequentiespectrum.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. L D Landau, E M Lifshitz, The classical Theory of Fields, Pergamon Press 1975, par.16