Elektrostatica

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Statica is afgeleid van het Griekse staticos, wat in evenwicht betekent. Elektrostatica is de leer van de rustende of statische elektriciteit, waarin de eigenschappen van statische elektrische ladingen worden bestudeerd.

Inhoud

1 De Wet van Coulomb
2 Elektrostatisch veld
3 Wet van Gauss
- 3.1 Voorbeeld van een puntlading
- 3.2 Voorbeeld van een ladingslijn

[bewerk] De Wet van Coulomb

Een van de fundamentele vergelijkingen in de elektrostatica is de Wet van Coulomb, die de krachtenwerking tussen twee puntladingen beschrijft:

$F = \frac{\left|q_1 q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

[bewerk] Elektrostatisch veld

De wet van Coulomb beschrijft de wisselwerking tussen twee puntladingen. We kunnen stellen dat het elektrostatisch veld van de ene lading interfereert met de andere lading, en andersom.

Het veld opgewekt door één puntlading:

$E = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$

[bewerk] Wet van Gauss

Indien we werken met een symmetrische opstelling van meerdere puntladingen en puntverdelingen (bijv. geladen rechte of vlak), kunnen we het theorema van Gauss gebruiken om het elektrostatisch veld veroorzaakt door die punten te bepalen:

De elektrostatische flux door een gesloten oppervlak S is evenredig met de som van de ladingen die zich in het binnenste van dat oppervlak bevinden.

Wiskundig:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_s}{\varepsilon_0}$

[bewerk] Voorbeeld van een puntlading

We beschouwen een puntlading. De wet van Gauss geeft ons de totale elektrostatische flux door het oppervlak (we nemen voor de symmetrie [zie later] een bol).

$\oint_S \vec{E} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

Hiermee weten we nu wat de totale flux door het boloppervlak is. Aangezien alle punten op de bol gelijk zijn (symmetrie!), kunnen we het elektrostatisch veld in een punt hiervan afleiden: $4\pi r^2 E(r)= \frac{Q}{\varepsilon_0}$ , en hieruit volgt $E=\frac{Q}{4\pi r^2 \varepsilon_0}$ (zie hierboven).

Op analoge wijze kan het veld opgewekt door een elektrisch geladen lijn, vlak, bol, ed. eenvoudig afgeleid worden (eventueel benaderen). Het mag duidelijk zijn dat het veld veroorzaakt door een geladen bol identiek is aan het veld veroorzaakt door een puntlading, zolang we het veld buiten de bol bekijken.

[bewerk] Voorbeeld van een ladingslijn

We beschouwen een oneindig lange ladingslijn. We beschouwen een symmetrisch oppervlak rond die lijn: een cilinder met als as de ladingslijn, hoogte l, en straal boven- en ondervlak r₀

Wegens de symmetrie van de opstelling moet het elektrisch veld loodrecht staan op ladingslijn.

De integraal wordt dan:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \oint_{mantel}\vec{E} \cdot d\vec{S} + \oint_{boven+ ondervlak} \vec{E}\cdot d\vec{S}$

Aangezien we aangenomen hebben dat het veld E loodrecht staat op de geleider, is $\vec{E}\cdot d\vec{S}$ voor de zijvlakken 0, en voor de mantel E. We rekenen verder:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \oint_{mantel}E=E A_{mantel}=E (2 \pi l r_0)$

Uit de wet van Gauss halen we dat dat gelijk moet zijn aan $\frac{Q_s}{\varepsilon_0}$ . We merken vooraleerst op dat Q_s, de lading "opgesloten" door de cilinder, gelijk is aan l λ (met λ de lading per meter ladingslijn). We krijgen: