Inductiewet van Faraday

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Samenvoegen van Iemand vindt dat de tekst van Inductie (elektriciteit) in dit artikel ingevoegd zou moeten worden, of dat er een duidelijkere afbakening tussen beide artikelen dient te worden gemaakt. Als de tekst wordt ingevoegd, dient dat artikel een redirect te worden (hier melden).
Elektromagnetisme
Lightning strike jan 2007.jpg
Elektriciteit · Magnetisme

De wet van Faraday geeft in de elektriciteitsleer, een deelgebied van de natuurkunde, het verband tussen een veranderend magneetveld en het daardoor opgewekte elektrische veld. Deze wet is een van de belangrijkste wetten van de elektriciteitsleer. Op de eerste plaats omdat ze magnetisme en elektriciteit met elkaar verenigt en daarom een van de grondvergelijkingen van de elektromagnetische theorie van Maxwell uitmaakt en op de tweede plaats omdat deze wet van toepassing is op vele gebieden van de elektrotechniek zoals elektrische transformatoren, generatoren en motoren. De wet is genoemd naar de Britse natuur- en scheikundige Michael Faraday.

Geschiedenis[bewerken]

Een kompasnaald in de nabijheid van een stroomvoerende geleider toont het effect van Ørsteds ontdekking
Experiment van Faraday met rechts een accu en links een galvanometer G.

Tijdens een lezing op 21 april 1820 ontdekte Ørsted dat de naald van een kompas afweek zodra er een elektrische stroom liep in een naburige geleidende draad. Hij rapporteerde als eerste over dit verschijnsel en concludeerde dat er een rechtstreeks verband bestond tussen elektriciteit en magnetisme. Latere onderzoekingen toonden aan dat een stationaire elektrische stroom in een rechte metalen draad een circulair magnetisch veld rond die draad doet ontstaan. Faraday was op de hoogte van dit effect waarschijnlijk door toedoen van het werk van Francesco Zantedeschi uit 1829. Hij vroeg zich af of het symmetrische effect niet kon worden aangetoond, namelijk of een magnetisch veld in de nabijheid van een geleider een stroom kon doen lopen in deze geleider. Bij de experimenten die hij uitvoerde, ontdekte hij dat dit niet het geval was.

Hij merkte echter op dat er wel een stroom kon worden opgewekt in de windingen van een spoel, door deze spoel bloot te stellen aan een veranderlijk magnetisch veld. Dit veranderlijke magnetische veld kon worden verkregen door een staafmagneet te bewegen in de buurt van een spoel, of deze spoel te brengen in het inwendige van een tweede spoel en de elektrische stroom in deze laatste in- of uit te schakelen.

Hij concludeerde dat deze inductie het gevolg was van de verandering van de magnetische flux veroorzaakt door de beweging van de magneet, of door het onderbreken of aanzetten van de stroom in de spoel, waardoor de magnetische flux veranderde. Omstreeks dezelfde tijd in 1831 voerde ook Joseph Henry, een Amerikaanse wetenschapper gelijksoortige experimenten uit en ontdekte het fenomeen van de zelfinductie. In Sint-Petersburg herhaalde de fysicus Heinrich Lenz de proeven van Faraday, en kon hieruit zijn wet van Lenz afleiden. Deze zegt dat de geïnduceerde spanning in de windingen een stroom doet lopen in een richting zodanig dat het magnetisch veld dat hierdoor ontstaat, de verandering van de magnetische flux tegenwerkt. Faraday publiceerde als eerste over zijn werk en maakte gebruik van het concept van magnetische veldlijnen om deze elektromagnetische inductie te verklaren. Hij kon echter geen wiskundige formulering geven aan het fenomeen.

Het was James Clerk Maxwell, die in 1855 in een lezing getiteld 'On Faraday's lines of force' voor de Cambridge Philosophical Society een theoretische onderbouwing gaf aan het verschijnsel van de magnetische inductie.

Wiskundige formulering[bewerken]

Magnetisch flux doorheen een rechthoekige geleidende lus met oppervlakte A

De wet van Faraday wordt in algemene bewoordingen als volgt uitgedrukt:

De geïnduceerde elektromotorische kracht in een gesloten elektrisch circuit is gelijk maar tegengesteld aan de verandering in de tijd van de magnetische flux door het circuit.

Dit geldt echter alleen voor een circuit van oneindig dun draad. Een andere versie, de Maxwell-Faradayvergelijking, is algemeen geldig.

Voor een wiskundige formulering beschouwt men een dunne geleidende draad in de vorm van een rechthoekig raam met hoogte y en breedte x. Een willekeurig open oppervlak waarvan de randlijn gevormd wordt door dit raam, wordt gesneden door de magnetische veldlijnen van een magnetisch veld met sterkte B. De inductiewet van Faraday leert nu dat in het raam een elektromotorische kracht (EMK) \mathcal E zal heersen die recht evenredig is met de verandering van de magnetische flux per tijdseenheid

\mathcal{E}= -\frac{{\rm d} \mathit{\Phi_B}}{{\rm d} t}

Hierin stelt \mathit{\Phi_B} de magnetische flux voor door het open oppervlak A; dus

\mathit{\Phi_B} = \int_{A}\vec{B}\cdot \mathrm{d} \vec{A}.

Het minteken wordt gedicteerd door de wet van Lenz, die zegt dat de elektromotorische kracht een stroom zal doen lopen in een richting die een magnetisch veld opwekt dat de verandering van de magnetische flux tegenwerkt. Daarmee is steeds de richting waarin die stroom zal lopen bekend.

Door voor het open oppervlak het vlakke oppervlak van het raam zelf kiezen, dus met oppervlakte A = xy, wordt de magnetische flux

\mathit{\Phi_B} = \int_A\vec{B}\cdot \mathrm{d} \vec{A}=A\,B\,\mathrm{cos \,}\theta=xy\,B\,\cos(\theta),

waarin θ de hoek is die het magnetisch veld maakt met de uitwendige normaal op dit oppervlak.

Men ziet nu onmiddellijk dat een veranderende flux op drie manieren tot stand kan komen: namelijk door een veranderend magnetisch veld B(t), door een met de tijd veranderende oppervlakte A(t) en door een met de tijd veranderlijke hoek θ(t).

Magnetische flux bij een veranderlijke hoek[bewerken]

Een roterende rechthoekige lus in een uniform magnetisch veld

Wanneer men het raam roteert in een constant en homogeen magnetisch veld B met een constante hoeksnelheid \omega =2\pi f, waarin f de frequentie voorstelt, krijgt men:

\theta = \theta_0 + \omega t.

Als \theta_0 =0 op het tijdstip t=0, wordt de magnetische flux

\mathit{\Phi_B} = xy\,B\, \cos(\omega t).

De elektromotorische kracht die in het raam wordt opgewekt, is nu

\mathcal{E}(t) = -\frac{{\rm d} \mathit{\Phi_B}}{{\rm d} t}= xy\,B\,\omega\, \sin(\omega t).

Zijn er N windingen aanwezig op het raam, dan wordt de elektromotorische kracht N keer zo groot en de stroom door die windingen wordt

I(t) =N \frac{\mathcal{E}(t)}{R},

waarin R de weerstand in het circuit voorstelt.

Magnetische flux bij een veranderlijke oppervlakte[bewerken]

De geleider L beweegt zich met een snelheid v over de rails

Over een U-vormige geleider met breedte l kan zich een rechte geleidende draad L loodrecht op de benen bewegen. Het geheel is geplaatst in een constant, homogeen magnetisch veld B. Bij beweging van de draad zal alleen de oppervlakte l\cdot x waarin de flux aanwezig is, zich wijzigen. Voor de flux door het oppervlak en de verandering van die flux als de draad zich met een snelheid v voortbeweegt, geldt:

\mathit{\Phi_B} = lxB ,

dus

\frac{{\rm d} \mathit{\Phi_B}}{{\rm d} t}= lB\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=lBv.

De absolute waarde van de elektromotorische kracht is dus

|\mathcal{E}|= lBv.

Opmerking[bewerken]

De grootte van deze geïnduceerde elektromotorische kracht kan ook afgeleid worden met behulp van de lorentzkracht. Immers wanneer de geleider L met een snelheid v wordt bewogen, zullen de ladingen in die geleider (elektronen in het geval van metaal) meebewegen. Voor een lading q wordt de ondervonden lorentzkracht

\vec{F}=q\,(\vec{v} \times \vec{B}).

Omdat de vectoren \vec{v} en \vec{B} loodrecht op elkaar staan en de snelheid \vec{v} in de tekening volgens de positieve x-as gericht is, wordt die kracht gelijk aan F=qvB, met richting van c naar d. Per ladingseenheid bedraagt de kracht dus vB. Het optreden van de lorentzkracht is dus equivalent met het optreden van een elektrisch veld, waarvan de veldsterkte E gelijk is aan vB. Tussen de punten c en d zal dus ten gevolge van de lorentzkracht een potentiaalverschil El = vBl ontstaan. Men ziet dat de elektromotorische kracht die ontstaat door de veranderende magnetisch flux door het oppervlak gelijk is aan dit potentiaalverschil. Gebruikmakend van de lorentzkracht kan ook de uitdrukking voor de elektromotorische kracht in het roterende raam worden gevonden

Magnetische flux bij een veranderlijk magnetisch veld[bewerken]

Gekoppelde spoelen Γ1 en Γ2

Een veranderend magnetisch veld kan niet alleen worden opgewekt door een permanente magneet in de lengterichting van een spoel te bewegen, maar kan ook ontstaan door een veranderende elektrische stroom in een eerste spoel Γ1 te doen lopen dat met een tweede spoel Γ2 gekoppeld is. Het veranderende magnetische veld opgewekt in de eerste spoel, zal in de tweede spoel een veranderende flux veroorzaken, waardoor in deze laatste een elektromotorische kracht ontstaat die evenredig is met zijn constante oppervlakte \Sigma_2 en met de verandering van het magnetische veld

\mathcal{E}_2= -\Sigma_2 \frac{{\rm d}B_1}{{\rm d}t}.

Hebben de twee spoelen een verschillend aantal windingen dan verklaart dit verschijnsel de werking van een transformator.

Omdat in al deze gevallen het oppervlak A niet verandert, kan de inductiewet geschreven worden als

\mathcal{E}= -\frac{{\rm d} \mathit{\Phi_B}}{{\rm d} t} = - \int_{A} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot {\rm d} \vec{A}.

Opmerking[bewerken]

Dit geval van magnetische inductie kan niet verklaard worden met behulp van de lorentzkracht, immers de twee spoelen zijn niet noodzakelijk in beweging. Het verschijnsel zal ook optreden als men alleen de stroom in de eerste spoel varieert. Men zou hieruit kunnen besluiten dat we te doen hebben met een ander fenomeen. Men kan echter algemeen aantonen, dat het inductieverschijnsel alleen zal afhangen van de verandering van de magnetische flux, onverschillig door welke oorzaak deze verandering wordt veroorzaakt.

De meest algemene formulering van de inductiewet voor een stilstaande of beweegbare lus in een veranderlijk magnetisch veld luidt dan ook

 -\frac{{\rm d} \mathit{\Phi_B}}{{\rm d} t}= - \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \int_{A(t)} \vec{B}(t) \cdot {\rm d}\vec{A}

Maxwell-Faradayvergelijking[bewerken]

Magnetisch veld B in de ruimte. Merk op dat ter hoogte van de lus Γ geen magnetisch veld aanwezig is

De Maxwell-Faradayvergelijking is een van de vier Maxwell-vergelijkingen, die een fundamentele rol speelt in de theorie van het elektromagnetisme.

Heerst in een bepaald gebied van de ruimte een veranderlijk magnetische veld B (dat aangroeit in het geval van de tekening), dan kan een bepaald gedeelte Σ daarvan (het groene gedeelte in de tekening) omsloten worden door een willekeurige lus Γ. Deze lus kan de randlijn uitmaken van een willekeurig open oppervlak S dat alle magnetische veldlijnen aanwezig in het gebied Σ zal snijden. Dit geeft aanleiding tot een omsloten magnetische flux \mathit{\Phi}_B. Als open oppervlak kan men ook het oppervlak A van de lus zelf kiezen. Plaatst men nu op de randlijn een dunne geleider met geringe elektrische weerstand r dan weten we uit het bovenstaande dat hierin een geïnduceerde elektromotorische kracht \mathcal{E} opgewekt zal worden evenredig met de verandering van de magnetische flux per eenheid van tijd. In de lus zal ten gevolge daarvan een geïnduceerde stroom i_{\rm ind} lopen in een richting die aangegeven wordt door de wet van Lenz. Het bestaan van deze stroom wijst op de aanwezigheid in de geleider van een kracht per ladingseenheid of een elektrisch veld E dat van punt tot punt kan veranderen. De som van alle infinitesimale bijdragen E{\rm d}l van elk segmentje {\rm d}l van de lus zal nu gelijk zijn aan de elektromotorische kracht. Samenvattend:

\mathcal E = -\frac{{\rm d}\mathit{\Phi_B}}{{\rm d} t} = - \int_{\Sigma} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot {\rm d} \vec{A}= - \int_{A} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \vec{A} =  \int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot {\rm d} \vec{l}=i_{\rm ind} \, r.

Hieruit blijkt dat

\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot {\rm d} \vec{l}= - \int_{A} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot {\rm d} \vec{A},

waaruit onmiddellijk volgt dat het elektrische veld niet-conservatief is. Immers de kringintegraal is ongelijk aan nul (vergelijk met de tweede wet van Kirchhoff). Wegens de stelling van Stokes is nu

\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot {\rm d} \vec{l}= \int_{A} \nabla \times \vec{E} \cdot {\rm d} \vec{A}=\int_{A} \operatorname{rot} \vec{E} \cdot {\rm d} \vec{A}.

Hieruit volgt nu dat

\nabla \times \vec{E} = \operatorname{rot} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

Dit is de Maxwell-Faradayvergelijking die een veralgemening is van de inductiewet van Faraday, en die zegt dat een tijdsveranderlijk magnetisch veld altijd gepaard gaat met een ruimteveranderlijk, niet-conservatief elektrisch veld. Ze maakt de vierde vergelijking van de wetten van Maxwell uit.

Ook blijkt voor een gesloten oppervlak:

 \int_{A} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot {\rm d} \vec{A} + \int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot {\rm d} \vec{S}  =  \frac{\partial } {\partial t} \int_{\rm gesloten\ opp} \vec{B} \cdot {\rm d} \vec{S} = 0.

Uit de divergentiestelling volgt dan onmiddellijk dat

\operatorname{div} \, \vec{B} = 0,

en dit maakt de tweede vergelijking van de wetten van Maxwell uit.

Veranderlijke magnetische velden in netwerken[bewerken]

Wanneer er in een stroomkring veranderlijke magnetische velden aanwezig zijn in de vorm van spoelen, transformatoren, generatoren, enz. dan moeten men de inductiewet van Faraday toepassen in plaats van de tweede wet van Kirchhoff. Immers de geïnduceerde elektrische velden zijn niet-conservatief zodat de lijnintegraal

\int_{a}^{b} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{l}

afhankelijk wordt van de gekozen weg a-b. Om dezelfde reden is ook het begrip potentiaalverschil niet meer gedefinieerd. In het geval van een spoel zullen we echter aantonen dat de werking overeenkomt met deze van een accu of batterij en net zoals deze laatste zal fungeren als een spanningsbron. Op deze manier wordt de tweede wet van Kirchhoff ook voor een spoel als netwerkcomponent toepasbaar.

Een ideale spoel als netwerkcomponent[bewerken]

Boven-Zijaanzicht van een zelfinductie L bij de begintoestand Onder - Bovenaanzicht

Een ideale spoel is een spoel die voldoende lang is, zodanig dat het magnetisch veld in het inwendige geconcentreerd blijft, en verder bestaat uit een perfecte geleider. Het ligt voor de hand dat het inductieverschijnsel zich ook zal voordoen in een dergelijke spoel met een groot aantal windingen, waarin een veranderlijke elektrische stroom vloeit. Er is dan sprake van zelfinductie. Het magnetische veld binnen de spoel is de som van alle bijdragen van elk van de windingen afzonderlijk en is daarom evenredig met de stroomsterkte I, die voor elke winding dezelfde is. De magnetische flux in het inwendige van de spoel zal dus ook evenredig zijn met die stroomsterkte. De evenredigheidsfactor wordt meestal voorgesteld door L. Deze factor is een constante voor een bepaalde vorm en afmeting van de spoel. Er geldt dus \mathit{\Phi}_B=LI, zodat de elektromotorische kracht die in de spoel wordt opgewekt, gelijk is aan

\mathcal E = - \frac{{\rm d} \mathit{\Phi_B}}{{\rm d} t} = - L \frac{{\rm d} I}{{\rm d} t}.

Hieruit ziet men dat de stroom in de spoel niet sprongsgewijs kan toenemen, want dan zou {\rm d}I/{\rm d} t en de elektromotorische kracht al snel groter worden dan de aangelegde uitwendige spanning. De stroom door de spoel zal dus aanvankelijk nul zijn (deze begintoestand wordt voor I \approx 0 en {\rm d}I/{\rm d} t>0 weergegeven in de tekening, en komt overeen met open aansluitpunten A en B) en zal snel aangroeien tot een maximale waarde. Als die waarde bereikt is, is er geen verandering meer van de magnetische flux en wordt de elektromotorische kracht gelijk aan nul.

Het is van belang te begrijpen dat het elektrische veld in een perfecte geleider gelijk moet zijn aan nul, anders zouden er op de ladingsdragers krachten werken, waardoor ze, omdat ze geen enkele weerstand ondervinden, zich met een oneindige snelheid zouden voortbewegen. Anderzijds weten we dat de inductiewet van Faraday eist dat er ter plaatse van de geleider een geïnduceerd elektrisch veld E_{\rm ind} verschillend van nul moet heersen. Deze schijnbare tegenstrijdigheid kan worden opgelost, als men inziet dat het veld E_{\rm ind} de ladingsdragers ogenblikkelijk drijft naar de uiteinden van de spoel nabij de aansluitpunten A en B om zich daar op te hopen. Door de aanwezigheid van deze ladingen ontstaat er in de geleider een tegengesteld elektrostatische veld of Coulombveld E_C dat op ieder moment het veld E_{\rm ind} compenseert. Op deze manier is het netto elektrische veld E_{\rm ind}+E_C steeds gelijk aan nul. Men ziet dus dat

\int_L \vec{E} \cdot {\rm d} \vec{l}=\int_L \vec{E_{\rm ind}} \cdot {\rm d} \vec{l}+ \int_L \vec{E_C} \cdot {\rm d} \vec{l}= \mathcal{E} + \int_L \vec{E_c} \cdot {\rm d} \vec{l}= 0

of

\mathcal{E} = -\int_L \vec{E_c} \cdot {\rm d} \vec{l}.

Het elektrostatische veld is echter wel conservatief, zodat er voor een elke lus door de spoel en daarbuiten (bijvoorbeeld de blauwe weg door R)

\int_L \vec{E_c} \cdot d \vec{l} =  \int_R \vec{E_c} \cdot d \vec{l}= -V

waarin V nu het potentiaalverschil is tussen A en B. Daarmee is \mathcal E = V en de spoel gedraagt zich als een spanningsbron, net zoals een accu of batterij. In netwerken mag een spoel daarom beschouwd worden als een spanningsbron die een spanning V levert gelijk aan

V= -L \frac{{\rm d} I}{{\rm d} t},

en kunnen we oogluikend toch de tweede wet van Kirchhoff toepassen.

Toepassing op een serie RLC-kring[bewerken]

RLC kring

De RLC-kring bestaat uit een serieschakeling van een weerstand R, een spoel L en een condensator C aangesloten op een spanningsbron V. In de praktijk zal de spoel een zekere kleine inwendige weerstand r bezitten. Deze weerstand kunnen we opgenomen denken in de uitwendige weerstand R. Omdat de kring een zelfinductie L bevat moeten we in principe de wet van Faraday toepassen

 \oint \vec{E} \cdot \mathrm{d }\vec{l} =  - L \frac{\mathrm{d } \mathit{I}}{\mathrm{d } t}

In de kring kiezen we een omloopzin en passen op het linker lid de volgende tekenconventie toe. Als we van een hogere naar een lagere potentiaal gaan rekenen we de bijdrage positief en als we van een lagere naar een hogere potentiaal gaan rekenen we de bijdrage negatief. We krijgen dan voor een omloopzin volgens de wijzers van de klok

IR + 0+ V_c -V = -L\frac{\mathrm{d } \mathit{I}}{\mathrm{d } t}

De tweede term van het linker lid is nul omdat er geen elektrisch veld aanwezig is in een spoel. We kunnen dit alles ook nog schrijven in de gedaante van de tweede wet van Kirchhoff door het rechter lid naar de andere kant van het gelijkheidsteken te brengen. We krijgen

IR + L\frac{\mathrm{d } \mathit{I}}{\mathrm{d } t} + V_c - V = 0

Uit het bovenstaande weten we dat we gerechtigd zijn dit te doen en we hebben als nieuwe regel voor de tweede wet van Kirchhoff dat wanneer de omlooprichting gelijk is aan de richting van de stroom de verandering van de potentiaal over de spoel gelijk is aan +L {\rm d}I/{\rm d} t.

Inductie in massieve geleiders[bewerken]

Een metalen schijf valt naar beneden in een constant magnetisch veld dat loodrecht op de plaat staat. Hierdoor ontstaan wervelstromen

Het ligt voor de hand dat het inductieverschijnsel ook zal optreden in massieve geleiders zoals platen, schijven en ringen als deze blootgesteld worden aan inhomogene magnetische velden of aan een veranderende flux. De EMK die ontstaat veroorzaakt wegens de resistiviteit van het materiaal elektrische stroombanen die gesloten maar onregelmatig van vorm zijn. Men spreekt in dit geval van wervelstromen. Deze stromen kunnen aanzienlijk zijn omdat ze door het metaal worden kortgesloten. Ze dissiperen daarbij energie in het materiaal waardoor de geleider opwarmt en creëren op hun beurt door inductie een magnetisch veld dat de oorzaak van de verandering tegenwerkt. Als die verandering wordt teweeggebracht door de beweging van de geleider in een homogeen magnetische veld zal die beweging worden afgeremd. Het is wederom de lorentzkracht die hiervoor verantwoordelijk is.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties