Wet van Gauss

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Elektromagnetisme
Lightning strike jan 2007.jpg
Elektriciteit · Magnetisme

In de fysica geeft de Wet van Gauss de relatie weer tussen de elektrische flux door een gesloten oppervlak en de elektrische lading binnen het oppervlak. Dit is een toepassing van de divergentiestelling van Gauss uit de analyse.

Integraalvorm[bewerken]

In zijn integraalvorm zegt de formule:

 \Phi = \oint_A \vec{E} \cdot \;d\vec{A} = {1 \over \epsilon_o} \int_V \rho \cdot dV = { 1 \over \varepsilon_0 } Q.


Daarbij is \vec{E} het elektrisch veld, d\vec{A} is de oppervlakte van een infinitesimaal gebiedje op het gesloten oppervlak S met een naar buiten gerichte normaalvector die zijn richting bepaalt, Q is de lading die omsloten wordt door het oppervlak, \epsilon_o is de permittiviteit in vacuüm en \oint_A is de integraal over het oppervlak S dat het volume V omsluit.

Differentiaalvorm[bewerken]

In differentiaalvorm wordt de vergelijking:

\nabla (\cdot \vec{E}) = \rho/\varepsilon_0

waar  \nabla de nabla-operator voor de divergentie is, E het elektrisch veld en ρ is de elektrische ladingdichtheid.

Diëlektricum[bewerken]

In een diëlektricum kan men de Wet van Gauss voor de elektrische verplaatsing, D, gebruiken.

\nabla \cdot \vec{D} = \rho

waar  \nabla de nabla-operator voor de divergentie is, \vec{D} is de elektrische verplaatsing (in C/m2), en ρ is de vrije elektrische ladingdichtheid (in C/m3), exclusief de dipolen die in het materiaal liggen.

Voor een lineair materiaal wordt de vergelijking:

\nabla (\epsilon \cdot \vec{E}) = \rho,

waar \epsilon de van \vec{E} onafhankelijke elektrische permittiviteit is. Is \epsilon ook onafhankelijk van de plaats, dan kan dit worden herschreven als:

\nabla \vec{E} = {\rho \over \epsilon} .

Bewijs van de Poissonvergelijking[bewerken]

Een elektrisch veld bezit een potentiaal V. Er geldt:

 \vec E = - \nabla V .

Past men de differentiaalvorm toe, dan bekomt men de Poissonvergelijking.

 \nabla \cdot \vec E = \nabla \cdot \left( - \nabla V \right )
= - \nabla \cdot \nabla V = - \Delta V = { \rho \over \varepsilon_0 }


\Leftrightarrow {\nabla}^2 V = \Delta V = - { \rho(\vec r) \over \varepsilon_0 }

waarbij \nabla de nabla-operator is en \Delta de Laplace operator.

Wet van Coulomb[bewerken]

In het speciale geval van een boloppervlak met een centrale lading, staat het elektrisch veld loodrecht op het oppervlak, met dezelfde grootte in alle punten, wat in vacuüm deze eenvoudiger uitdrukking levert:

E(r) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^{2}}

met E de elektrische veldsterkte op straalafstand r buiten de bol tot het middelpunt van de bol is, Q is de ingesloten lading, en ε0 de permittiviteit van vacuüm. Er geldt

\epsilon_0 = 8,\! 854 187 817 \cdot 10^{-12} F/m.[1]

Dus de bekende omgekeerde afhankelijkheid van het elektrisch veld ten opzichte van het kwadraat van de afstand, in de Wet van Coulomb, volgt uit de wet van Gauss.

De stelling van Gauss kan gebruikt worden om aan te tonen dat er geen elektrisch veld is binnen een Kooi van Faraday zonder elektrische ladingen. De wet van Gauss is het elektrostatisch equivalent van de wet van Ampère, die magnetisme behandelt. Beide vergelijking werden later geïntegreerd in de wetten van Maxwell.

De stelling werd geformuleerd door Carl Friedrich Gauss in 1835, maar werd pas na zijn dood in 1867 gepubliceerd.

Zwaartekracht en magnetisch veld[bewerken]

Door wiskundige gelijkenis, heeft de wet soms een toepassing voor andere fysische grootheden die omgekeerd evenredig zijn met een kwadraat, zoals zwaartekracht, magnetisch veld of de intensiteit van straling (zie omgekeerde kwadratenwet). Zie ook divergentiestelling. Deze varianten van de Wet van Gauss wijken enigszins af: het zwaartekrachtsveld kent geen negatieve massa en het magnetisch veld ontbeert monopolen, zodat div B = 0 in plaats van de dichtheid rho.

Divergentiestelling van Gauss[bewerken]

De wetten van Gauss voor het elektrisch en magnetisch veld zijn speciale gevallen van de algemeen geldende wiskundige stelling:

\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\vec{F}\right)dV=\iint\limits_S\vec{F}\cdot d\vec{S}

Waarbij de divergentie van een vectorveld geïntegreerd over een volume gelijk is aan de flux geïntegreerd over de rand van dat volume. Hieruit volgt vrij eenvoudig dat

\nabla \cdot \vec{E} = \rho/\varepsilon_0

en

\nabla \cdot \vec{B} = 0

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Electric constant. 2006 CODATA recommended values. NIST