Wet van Gauss

Elektromagnetisme

Elektriciteit · Magnetisme Elektrostatica Elektrische lading · Elektrisch veld Elektrische potentiaal · Wet van Coulomb Elektrische flux · Wet van Gauss Magnetostatica Magnetisch veld · Elektrische stroom Wet van Ampère · Lorentzkracht Magnetische flux · Dipoolmoment Elektrodynamica Inductie · Wetten van Maxwell Elektromagnetische golf Wet van Faraday Elektriciteitsleer Spanning · Stroom · Weerstand Condensator · Spoel · Impedantie Wet van Ohm Wetenschappers Ampère · Coulomb · Faraday · Gauss Lorentz · Maxwell · Ohm · Tesla Volta · Weber · Ørsted

In de fysica geeft de Wet van Gauss de relatie weer tussen de elektrische flux door een gesloten oppervlak en de elektrische lading binnen het oppervlak. Dit is een toepassing van de divergentiestelling van Gauss uit de analyse.

Integraalvorm

In zijn integraalvorm zegt de formule:

$\Phi = \oint_A \vec{E} \cdot \;d\vec{A} = {1 \over \epsilon_o} \int_V \rho \cdot dV = { 1 \over \varepsilon_0 } Q$.

Daarbij is $\vec{E}$ het elektrisch veld, $d\vec{A}$ is de oppervlakte van een infinitesimaal gebiedje op het gesloten oppervlak S met een naar buiten gerichte normaalvector die zijn richting bepaalt, $Q$ is de lading die omsloten wordt door het oppervlak, $\epsilon_o$ is de permittiviteit in vacuüm en $\oint_A$ is de integraal over het oppervlak S dat het volume V omsluit.

Differentiaalvorm

In differentiaalvorm wordt de vergelijking:

$\nabla (\cdot \vec{E}) = \rho/\varepsilon_0$

waar $\nabla$ de nabla-operator voor de divergentie is, E het elektrisch veld en ρ is de elektrische ladingdichtheid.

Diëlektricum

In een diëlektricum kan men de Wet van Gauss voor de elektrische verplaatsing, D, gebruiken.

$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$

waar $\nabla$ de nabla-operator voor de divergentie is, D is de elektrische verplaatsing (in C/m²), en ρ is de vrije elektrische ladingdichtheid (in C/m³), exclusief de dipolen die in het materiaal liggen.

Voor een lineair materiaal wordt de vergelijking:

$\nabla (\epsilon \cdot \vec{E}) = \rho$,

waar $\epsilon$ de van $\vec{E}$ onafhankelijke elektrische permittiviteit is. Is $\epsilon$ ook onafhankelijk van de plaats, dan kan dit worden herschreven als:

$\nabla \vec{E} = {\rho \over \epsilon}$.

Bewijs van de Poissonvergelijking

Een elektrisch veld bezit een potentiaal V. Er geldt:

$\vec E = - \nabla V$.

Past men de differentiaalvorm toe, dan bekomt men de Poissonvergelijking.

$\nabla \cdot \vec E = \nabla \cdot \left( - \nabla V \right ) = - \nabla \cdot \nabla V = - \Delta V = { \rho \over \varepsilon_0 }$

$\Leftrightarrow {\nabla}^2 V = \Delta V = - { \rho(\vec r) \over \varepsilon_0 }$

waarbij $\nabla$ de nabla-operator is en $\Delta$ de Laplace operator.

Wet van Coulomb

In het speciale geval van een boloppervlak met een centrale lading, staat het elektrisch veld loodrecht op het oppervlak, met dezelfde grootte in alle punten, wat in vacuüm deze eenvoudiger uitdrukking levert:

$E(r) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^{2}}$

met E de elektrische veldsterkte op straalafstand r buiten de bol tot het middelpunt van de bol is, Q is de ingesloten lading, en ε₀ de permittiviteit van vacuüm. Er geldt

$\epsilon_0 = 8,\! 854 187 817 \cdot 10^{-12}$ F/m.

Dus de bekende omgekeerde afhankelijkheid van het elektrisch veld ten opzichte van het kwadraat van de afstand, in de Wet van Coulomb, volgt uit de wet van Gauss.

De stelling van Gauss kan gebruikt worden om aan te tonen dat er geen elektrisch veld is binnen een Kooi van Faraday zonder elektrische ladingen. De wet van Gauss is het elektrostatisch equivalent van de wet van Ampère, die magnetisme behandelt. Beide vergelijking werden later geïntegreerd in de wetten van Maxwell.

De stelling werd geformuleerd door Carl Friedrich Gauss in 1835, maar werd pas na zijn dood in 1867 gepubliceerd.

Zwaartekracht en magnetisch veld

Door wiskundige gelijkenis, heeft de wet soms een toepassing voor andere fysische grootheden die omgekeerd evenredig zijn met een kwadraat, zoals zwaartekracht, magnetisch veld of de intensiteit van straling (zie omgekeerde kwadratenwet). Zie ook divergentiestelling. Deze varianten van de Wet van Gauss wijken enigszins af: het zwaartekrachtsveld kent geen negatieve massa en het magnetisch veld ontbeert monopolen, zodat div B = 0 in plaats van de dichtheid rho.

Divergentiestelling van Gauss

De wetten van Gauss voor het elektrisch en magnetisch veld zijn speciale gevallen van de algemeen geldende wiskundige stelling:

$\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$

Waarbij de divergentie van een vectorveld geïntegreerd over een volume gelijk is aan de flux geïntegreerd over de rand van dat volume. Hieruit volgt vrij eenvoudig dat

$\nabla \cdot \vec{E} = \rho/\varepsilon_0$

en

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

Zie ook

• Wetten van Maxwell
• Carl Friedrich Gauss
• Divergentiestelling
• Flux
• Spoelgeweer

Externe links

• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.

Bronnen, noten en/of referenties