Laplace-operator

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Laplace-operator, ook wel Laplaciaan genoemd, is een differentiaaloperator genoemd naar de Franse wiskundige Pierre-Simon Laplace en aangeduid door het symbool Δ. In de natuurkunde vindt de operator toepassing bij de beschrijving van voortplanting van golven (golfvergelijking), bij warmtetransport en in de elektrostatica in de Laplacevergelijking. In de kwantummechanica stelt de Laplace-operator de kinetische energie voor in de Schrödingervergelijking. De functies waarvoor de Laplaciaan gelijk is aan 0, worden in de wiskunde harmonische functies genoemd.

Voor een scalaire functie f op een n-dimensionale Euclidische ruimte is de Laplace-operator gedefinieerd door:

\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2f}{\partial x^2_i}.

Hierin staat \frac {\partial^2}{\partial x^2_i} voor de tweede partiële afgeleide naar de variabele x_i.

Als operator schrijft men daarom wel:

\Delta = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial x^2_i}.

Alternatief kan men schrijven:

\Delta f = \operatorname{div} (\operatorname{grad} f).\,

Ook kan de Laplace-operator (in rechthoekige coördinaten) uitgedrukt worden in de operator nabla (\nabla):

\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla .

Laplaciaan in 3 dimensies[bewerken]

In Cartesische coordinaten,


\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

In cilindercoordinaten:

 \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left(\rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

In bolcoordinaten:

 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

Voorbeeld[bewerken]

Zij f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} de functie gedefinieerd door

\!f(x,y,z) = x^2+yz^2.

Dan geldt:

\Delta f = \frac {\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac {\partial^2 f}{\partial z^2} = 2 + 0+2y = 2+2y.

Laplace-operator voor een vectorveld[bewerken]

Voor een vectorveld A is de Laplace-operator gedefinieerd als:

\Delta  \mathbf{A} =
\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) =
\operatorname{grad}(\operatorname{div} \mathbf{A}) - \operatorname{rot}(\operatorname{rot} \mathbf{A})

In gewone Cartesische coördinaten is het het vectorveld met als componenten de Laplaciaan van de componenten van A, dus:

\Delta \mathbf{A} = \Delta \begin{bmatrix}A_x\\A_y\\A_z\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}\Delta A_x\\\Delta A_y\\\Delta A_z\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \end{bmatrix}