Harmonische functie

In de wiskunde is een harmonische functie een functie die voldoet aan de Laplace-vergelijking, dus waarvoor de Laplaciaan de waarde 0 heeft.

Definitie

De tweemaal differentieerbare functie f: D → R (met D een open deelverzameling van de Rⁿ) heet harmonisch als op heel D geldt:

$\Delta f = 0\,$.

Daarin is Δ de Laplace-operator:

$\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} +\cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$.

Eigenschappen

De Laplace-operator is een lineaire afbeelding op de lineaire ruimte van de tweemaal differentieerbare functies. De harmonische functies vormen de kern van de operator.

Voorbeelden

In 2 dimensies:

• het reële- en het imaginaire deel van een analytische functie
• de functie $f(x_1,x_2) = e^{x_1}\sin(x_2)$

In 3 dimensies:

• de elektrische potentiaal buiten een geladen voorwerp

In n dimensies:

• lineaire functies op de Rⁿ
• voor n ≥ 2 de functie $f(x_1,\cdots,x_n) = (x_1^2+ \cdots + x_n^2)^{1-\frac n2}, \ x \ne 0$