Harmonische functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een harmonische functie een functie die voldoet aan de Laplace-vergelijking, dus waarvoor de Laplaciaan de waarde 0 heeft.

Definitie[bewerken]

De tweemaal differentieerbare functie f: DR (met D een open deelverzameling van de Rn) heet harmonisch als op heel D geldt:

 \Delta f = 0\,.

Daarin is Δ de Laplace-operator:

 \Delta =\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} +\cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}.

Eigenschappen[bewerken]

De Laplace-operator is een lineaire afbeelding op de lineaire ruimte van de tweemaal differentieerbare functies. De harmonische functies vormen de kern van de operator.


Voorbeelden[bewerken]

In 2 dimensies:

In 3 dimensies:

In n dimensies: