Quotiënttopologie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie wordt de constructie van de quotiënttopologie gebruikt om een precieze betekenis te geven aan het plastische begrip "aan elkaar plakken".

Definitie[bewerken]

Zij (X,\mathcal{T}) een topologische ruimte en zij \simeq een equivalentierelatie op X. De relatie \simeq heet in deze context meestal "wordt geïdentificeerd met".

Zij \mathcal{P} de partitie van X die gevormd wordt door de equivalentieklassen van \simeq.

De verzameling \mathcal{P} wordt als volgt uitgerust met een topologie \mathcal{Q}: een deelverzameling \mathcal{A} van \mathcal{P} heet open als de vereniging van haar leden een open verzameling is van (X,\mathcal{T}):

\mathcal{A}\in\mathcal{Q}\Leftrightarrow\cup\left\{A|A\in\mathcal{A}\right\}\in\mathcal{T}

Gelijkwaardige definitie[bewerken]

We rusten \mathcal{P} uit met de finale topologie \mathcal{Q} voor de afbeelding \pi:X\to\mathcal{P} die met ieder element x\in X zijn partitieklasse associeert.

Eigenschappen[bewerken]

De quotiënttopologie voldoet aan het scheidingsaxioma T_1 (singletons zijn gesloten) als en slechts als de equivalentieklassen van \simeq gesloten zijn in (X,\mathcal{T}).

Een quotiënt van een samenhangende ruimte is samenhangend. Een quotiënt van een wegsamenhangende ruimte hoeft echter niet wegsamenhangend te zijn.

Een quotiënt van een compacte ruimte is compact. Een quotiënt van een lokaal compacte ruimte hoeft echter niet lokaal compact te zijn.

Voorbeeld[bewerken]

Zij X=[0,1] het gesloten reële eenheidsinterval met de gewone topologie. Zij \simeq de equivalentierelatie op X die bestaat uit alle identieke koppels, plus de koppels (0,1) en (1,0).

De quotiëntruimte X/\simeq is homeomorf (t.t.z. topologisch gelijkwaardig) met de cirkel, want elke omgeving van de klasse \{0,1\} in de quotiënttopologie omvat een omgeving van 0 én een omgeving van 1 in de oorspronkelijke ruimte X=[0,1].

Dit is het eenvoudigste voorbeeld van een "plak"-operatie: de uiteinden van het interval worden aan elkaar geplakt, en we bekomen een cirkel.

Van pseudometriek naar metriek[bewerken]

Met elke pseudometrische ruimte (X,d) wordt een topologie geassocieerd door de open bollen te laten fungeren als basis. Deze topologie is slechts T_1 als de pseudometriek in feite een metriek is.

Als d een echte pseudometriek is, dan beschouwen we de equivalentierelatie

x\simeq y\Leftrightarrow d(x,y)=0

Deze klassen zijn gesloten verzamelingen, en de quotiëntruimte is T_1. In feite kan de quotiëntruimte worden opgevat als een metrische ruimte, en voldoet ze dus zelfs aan het scheidingsaxioma T_4.