Relatie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde beschrijft een relatie het verband of de betrekking tussen objecten. Iedere relatie is gedefinieerd over een aantal verzamelingen en verbindt, uit deze verzamelingen, de elementen die met elkaar in het bedoelde verband staan. Het aantal verzamelingen waarover de relatie gedefinieerd is, heet de plaatsigheid of ariteit van de relatie. De relatie is een van de centrale begrippen uit de wiskunde. De meest voorkomende relatie is de tweeplaatsige relatie, die objecten in tweetallen aan elkaar koppelt.

Als voorbeeld kan men zich de relatie voorstellen die het verband ... heeft per ... gereisd naar ... beschrijft. Deze relatie is gedefinieerd over drie verzamelingen: de verzameling van alle mensen, de verzameling van alle vervoermiddelen en de verzameling van alle locaties. Wanneer we uit iedere verzameling één element nemen, dan geeft deze relatie aan of ze met elkaar in het bedoelde verband staan. Zo verbindt de relatie bijvoorbeeld de volgende elementen met elkaar: Hannibal uit de verzameling van alle mensen, de olifant uit de verzameling van alle vervoermiddelen en Rome uit de verzameling van alle locaties. Neemt men echter het vliegtuig uit de tweede verzameling, in plaats van de olifant, dan zal de relatie de elementen niet met elkaar verbinden. Dat wil zeggen: "Hannibal heeft per olifant gereisd naar Rome" en "Hannibal heeft niet per vliegtuig gereisd naar Rome".

Definitie[bewerken]

Formeel is een relatie gedefinieerd als een tupel (G, X1, ... , Xn), waarbij

  • n \in N,
  • X1, ... , Xn willekeurige verzamelingen zijn en
  • G \subseteq X1 × ... × Xn.

Dat wil zeggen dat n een natuurlijk getal is en G een deelverzameling is van het Cartesisch product van de verzamelingen X1, ... , Xn.

De volgorde van de leden van het tupel in de definitie kan variëren. Een relatie kan bijvoorbeeld ook gedefinieerd worden als het tupel (X1, ... , Xn, G).

Het komt voor dat de relatie simpelweg gedefinieerd wordt als een verzameling n-tupels, overeenkomstig met de verzameling G uit de eerste definitie. Uit welke verzamelingen de leden van de n-tupels komen, moet in dat geval expliciet genoemd worden of uit de context blijken. Strikt genomen wordt in dit geval niet het begrip relatie gedefinieerd, maar het begrip relatie over de verzamelingen ..., omdat een verzameling n-tupels enkel een relatie is in de context van de verzamelingen waaruit de leden van de tupels komen.

Het belangrijkste verschil tussen deze definities komt aan het licht wanneer relaties op gelijkheid getoetst worden. Neem de relaties R = (G, W, X, Y) en S = (G, W, X, Z), waarbij Y ≠ Z. Het is evident dat in dit geval R ≠ S, hoewel de verzameling geordende paren G in beide relaties hetzelfde is. Onder de tweede definitie zouden dezelfde relaties echter als volgt gedefinieerd worden: R = G en S = G, waaruit volgt dat R = S.

In sommige systemen van de axiomatische verzamelingenleer worden relaties gedefinieerd op klassen in plaats van verzamelingen. Deze aanpassing is onder andere nodig om de begrippen is een element van en is een deelverzameling van te kunnen beschrijven, zonder dat dit tot de Russell-paradox leidt.

Terminologie[bewerken]

Als R = (G, X1, ... , Xn) een relatie is, dan wordt G de grafiek van R genoemd en worden X1, ... , Xn de domeinen van R genoemd. Men zegt ook dat R een relatie over X1, ... en Xn is.

Als (x1, ... , xn\in G, dan worden x1, ... en xn argumenten van R genoemd. Men zegt ook dat x1, ... en xn met elkaar in R-relatie staan. Als uit de context duidelijk is om welke relatie het gaat, dan wordt ook simpelweg gezegd dat x1, ... en xn met elkaar in relatie staan.

Het getal n wordt de plaatsigheid van R genoemd. Men spreekt hierbij van een n-plaatsige relatie.

Als alle domeinen door dezelfde verzameling A uitgemaakt worden, dan spreekt men van een homogene relatie, of van een endorelatie. In dit geval zegt met ook dat R een n-plaatsige relatie over A, of een n-plaatsige relatie op A is.

Voor alle verzamelingen X1, ..., Xn wordt de relatie (G, X1, ... , Xn), waarbij G de lege verzameling is de lege relatie over X1, ..., Xn genoemd.

Voor alle verzamelingen X1, ..., Xn wordt de relatie (G, X1, ... , Xn), waarbij G = X1 × ... × Xn de universele relatie over X1, ..., Xn genoemd.

Notatie[bewerken]

De uitspraak "x1, ... en xn staan met elkaar in R-relatie" wordt op verschillende manieren genoteerd:

  • (functienotatie) R(x1, ... , xn)
  • (Poolse notatie) Rx1 ... xn

Bij een vierplaatsige relatie R kan men bijvoorbeeld R(t, u, v, w) of Rtuvw schrijven en bij een eenplaatsige relatie S bijvoorbeeld S(u) of Su.

De functienotatie komt overeen met de karakteristieke functie van de grafiek van R.

Bij tweeplaatsige relaties wordt ook vaak infixnotatie gebruikt: bijvoorbeeld uTv bij een tweeplaatsige relatie T.

Voorbeeld[bewerken]

Om het voorbeeld uit de inleiding formeel uit te werken definiëren we drie verzamelingen.

M = { Hannibal, Caesar, Cleopatra }

is de (erg kleine) verzameling van alle mensen,

V = { Boot, Olifant, Paard, Vliegtuig }

de verzameling van alle vervoermiddelen en

L = { Rome, Carthago, Alexandrië }

de verzameling van alle locaties.

We definiëren vervolgens de verzameling

G = { (Caesar, Paard, Rome), (Caesar, Boot, Alexandrië), (Hannibal, Olifant, Rome) }.

Merk op dat

G \subseteq M × V × L

waarmee

R = (G, M, V, L)

een drieplaatsige relatie over M, V en L is.

De uitspraak "Hannibal reisde per olifant naar Rome" wordt nu genoteerd als R(Hannibal, Olifant, Rome) en is volgens onze relatie waar, terwijl de uitspraak "Hannibal reisde per vliegtuig naar Rome" genoteerd wordt als R(Hannibal, Vliegtuig, Rome) en volgens onze relatie niet waar is.

Merk op dat de domeinen onrealistisch klein zijn, waardoor de hier geconstrueerde relatie R een zeer beperkt model van het bedoelde verband is. De relatie is dan ook niet volledig, wat wil zeggen dat niet alle ware uitspraken ook zodanig beschreven worden. De uitspraak "Cleopatra reisde per boot naar Rome" is bijvoorbeeld waar, terwijl de uitdrukking R(Cleopatra, Boot, Rome) onwaar is. Er zijn bovendien vele ware uitspraken die helemaal niet beschreven worden.[1] De uitdrukking R(Napoleon, Paard, Rome) is bijvoorbeeld niet gedefinieerd[2] en daarmee waar noch onwaar, terwijl de uitspraak "Napoleon reisde per paard naar Rome" een ware en volstrekt natuurlijke uitspraak is. Om de werkelijkheid volledig te beschrijven zouden gigantische modellen nodig zouden zijn.

Hoewel de relatie verre van volledig is, is ze wel correct. Dat wil zeggen dat alle uitspraken die door deze relatie als waar bestempeld worden, in werkelijkheid ook waar zijn.

Toepassingen[bewerken]

Een nulplaatsige relatie komt overeen met een Booleaanse constante. Een eenplaatsige relatie komt overeen met de karakteristieke functie van een verzameling, namelijk die van de grafiek van de relatie. Ook twee- en meerplaatsige relaties kunnen gezien worden als de karakteristieke functie van hun grafiek.

Logica[bewerken]

In de logica nemen relaties een belangrijke plaats in. De predicaten uit de predicatenlogica komen precies overeen met relaties. Net als eenplaatsige predicaten, kunnen eenplaatsige relaties dan ook gezien worden als model van een eigenschap. In de modale logica spelen tweeplaatsige relaties een belangrijke rol. Terwijl modale logica's vaak computationeel voordeliger zijn dan predicatenlogica, kunnen ze redeneren over tweeplaatsige relaties met veel van de belangrijkste eigenschappen, zoals transitiviteit en reflexiviteit.

Algebra[bewerken]

De afbeelding is gedefinieerd als een specifiek soort relatie. Het homomorfisme, een van de centrale begrippen in de algebra, is een specifiek geval van een afbeelding en daarmee specifiek geval van een relatie. Bij gevolg geldt hetzelfde voor de overige morfismen. Een ander in de algebra belangrijk begrip, de operatie, komt overeen met het algemenere begrip afbeelding en is dus ook een specifiek soort relatie.[3]

Meetkunde[bewerken]

In de meetkunde wordt onder andere het begrip congruentie gedefinieerd als een specifieke tweeplaatsige relatie.

Analyse[bewerken]

In de analyse wordt het centrale begrip functie gedefinieerd als een speciaal geval van een tweeplaatsige relatie.

Econometrie[bewerken]

De preferentierelatie van een consument geeft voor elke twee "consumptiepakketten" aan, aan welke hij de voorkeur geeft.

Tweeplaatsige relaties[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Tweeplaatsige relatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De tweeplaatsige relatie is de meest gebruikte soort relatie en is een van de centrale begrippen uit de wiskunde. Tweeplaatsige relaties worden in alle gebieden van de wiskunde gebruikt. De functie wordt bijvoorbeeld meestal gedefinieerd als een speciaal soort tweeplaatsige relatie en tweeplaatsige relaties met een eigenschap als bijectiviteit worden veelvuldig in bewijzen gebruikt, om bijvoorbeeld gelijkmachtigheid van verzamelingen aan te tonen.

Andere belangrijke toepassingen van tweeplaatsige relaties zijn equivalentierelaties, grafen en de verschillende ordes uit de ordetheorie.

Geschiedenis en achtergrond[bewerken]

De logicus Augustus De Morgan was rond 1860 de eerste die relaties zoals tegenwoordig bedoeld formaliseerde. Hij kwam ook met de eerste resultaten over relaties.[4] De filosofische definitie[5] van het begrip relatie die De Morgan formuleerde is:

Wanneer twee objecten, eigenschappen, klassen of attributen, tezamen aanschouwd door de geest, in een zeker verband gezien worden, dan wordt dat verband een relatie genoemd.[6]

Merk op dat hier strikt genomen enkel op tweeplaatsige relaties gedoeld wordt.

Na De Morgan publiceerde Charles Sanders Peirce meer resultaten over relaties. Bertrand Russell en Alfred North Whitehead brachten in hun Principia Mathematica[7] veel 19e-eeuwse resultaten samen, over relaties in het algemeen en orderelaties in het bijzonder. Dit werk heeft daarna gediend als de facto standaardreferentie voor vervolgstudie op het gebied van relaties.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten

  1. Let op het verschil tussen helemaal niet beschrijven en als onwaar beschrijven. De uitspraak "Cleopatra reisde per boot naar Rome" wordt wel beschreven, maar (ten onrechte) als onwaar bestempeld, terwijl de uitspraak "Napoleon reisde per paard naar Rome" niet beschreven wordt en daarmee noch als waar, noch als onwaar wordt bestempeld.
  2. Dit komt enkel doordat het "object" Napoleon niet in het eerste domein opgenomen is. Het feit dat het 3-tupel (Napoleon, Paard, Rome) niet in de grafiek van R zit, heeft hier niets mee te maken. De uitdrukking R(Cleopatra, Paard, Rome) is bijvoorbeeld wél gedefinieerd, terwijl (Cleopatra, Paard, Rome) \not\in G. Dit laatste betekent enkel dat de uitdrukking R(Cleopatra, Paard, Rome) onwaar is.
  3. Zie de paragraaf over operaties in het artikel Afbeelding.
  4. Zie (Merrill, 1990) over het werk van De Morgan op het gebied van relaties.
  5. Zie (Lucas, 1999: hst. 9) voor een filosofische verhandeling over relaties.
  6. "When two objects, qualities, classes, or attributes, viewed together by the mind, are seen under some connexion, that connexion is called a relation." — De Morgan (1858), "On the Syllogism, Part 3" in (Heath, 1966: blz. 119)
  7. (Russell, 1903/1938)

Bronnen

  • (en) Bourbaki, Nicolas, Elements of the History of Mathematics, Springer, 1994
  • (en) Heath (ed.), P., On the Syllogism and Other Logical Writings, Routledge, 1966
  • (en) Lucas, J. R., Conceptual Roots of Mathematics, Routledge, 1999
  • (en) Merrill, Dan D., Augustus De Morgan and the Logic of Relations, Kluwer, 1990
  • (en) Russell, Bertrand, The Principles of Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1903/1938
  • (en) Relation op planetmath.org Geraadpleegd op 9 juli 2009
  • (en) Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag Geraadpleegd op 9 juli 2009