Filter (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het wiskundige begrip filter wordt in de topologie gebruikt om de convergentie van rijen te veralgemenen. In metrische ruimten wordt de topologische structuur volledig vastgelegd door de convergente rijen (een verzameling is gesloten als en slechts als ze alle limieten van haar eigen rijen bevat), maar in algemenere topologische ruimten is dit niet meer waar.

Definitie[bewerken]

Zij X een verzameling. Een filter op X is een familie \mathcal{F} van deelverzamelingen van X die aan de volgende vier voorwaarden voldoet:

  1. \mathcal{F}\neq\emptyset (niet leeg)
  2. \mathcal{F}\neq \mathcal{P}(X) (echt, dat wil zeggen niet alle deelverzamelingen)
  3. V,W\in\mathcal{F} \implies V\cap W\in\mathcal{F} (gesloten onder eindige doorsnede)
  4. V\in\mathcal{F} \and V\subset W\subset X \implies W\in\mathcal{F}

Voorbeelden[bewerken]

Zij A een niet-lege deelverzameling van X. De familie \mathcal{F}=\left\{B\subset X|A\subset B\right\} is een filter op X.

Zij (X,\mathcal{T}) een topologische ruimte, en x\in X. De omgevingenfilter van x is de collectie \mathcal{V}_x van alle omgevingen van x:

\mathcal{V}_x=\left\{A\subset X|\exists U\in\mathcal{T}:x\in U\subset A\right\}

Verwante definities[bewerken]

Zijn X een verzameling. Een filterbasis op X is een familie \mathcal{B} die aan de volgende drie voorwaarden voldoet:

  1. \mathcal{B}\neq\emptyset
  2. \mathcal{B}\neq \mathcal{P}(X)
  3. V,W\in\mathcal{B} \implies \exists U\in\mathcal{B}:U\subset V\cap W

Het woord 'basis' vindt zijn verantwoording in het feit dat een filterbasis op unieke wijze kan worden uitgebreid tot een filter. Daartoe wordt \mathcal{B} aangevuld met alle deelverzamelingen die een element uit \mathcal{B} omvatten.

\mathcal{F}:=\left\{V\subset X|\exists U\in\mathcal{B}:U\subset V\right\}.

Men noemt dit het filter voortgebracht door \mathcal{B}.

Een ultrafilter is een maximaal filter, dat wil zeggen een filter dat niet bevat is in een groter filter op X.

Zij (X,\mathcal{T}) een topologische ruimte. Een filter \mathcal{F} op X convergeert naar x\in X als hij het omgevingenfilter van x omvat. De "limiet" x hoeft niet uniek te zijn: de uniciteit van filterlimieten is gelijkwaardig met het scheidingsaxioma van Hausdorff.

Verband met de topologische structuur[bewerken]

De omgevingenfilter van een element x\in X ligt ondubbelzinnig vast als de doorsnede van alle filters die naar x convergeren. Het begrip "convergente filter" bepaalt dus volledig de topologische structuur van X.

Een afbeelding f:X\to Y tussen twee verzamelingen beeldt elk filter \mathcal{F} van X af op een filterbasis van Y. De hierdoor voortgebrachte filter van Y noteren we f(\mathcal{F}).

Een afbeelding f:X\to Y tussen twee topologische ruimten is continu in x\in X als en slechts als ze elke filter die naar x convergeert, afbeeldt op een filter die naar f(x) convergeert.

Een topologische ruimte is compact als en slechts als elke ultrafilter convergeert. Dit komt op hetzelfde neer als eisen dat elke filter kan uitgebreid worden tot een convergente filter.

Verband met convergente rijen[bewerken]

Met iedere rij (x_n)_{n\in\mathbb{N}} in een topologische ruimte (X,\mathcal{T}) associëren we de filterbasis die bestaat uit de staarten van de rij:

\mathcal{B}:=\left\{\{x_n,x_{n+1},\ldots\}|n\in\mathbb{N}\right\}

Dan convergeert de rij naar een punt x\in X als en slechts als de filter voortgebracht door \mathcal{B} de omgevingen van x bevat. Dit verantwoordt de definitie van het begrip "convergente filter".