Rij van Mercator

In de wiskunde is de rij van Mercator of de Newton-Mercatorrij een Taylorreeks voor een natuurlijk logaritme. De rij wordt gedefinieerd als volgt:

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

geldig voor $-1 < x \le 1$. Voor complexe getalwaarden van x, convergeert de rij voor alle x-waarden.

Geschiedenis

De rij werd ontdekt door Nikolaus Mercator, Isaac Newton en Gregorius van St-Vincent, elk onafhankelijk van elkaar. Het werd voor het eerst gepubliceerd door Mercator in 1668 in het traktaat Logarithmo-technica.

Afleiding

De rij kan worden afgeleid door het natuurlijke logaritme herhaaldelijk te differentiëren, startend van

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

Een alternatief kan zijn door te starten met de meetkundige rij ($t \neq -1$):

$1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} = \frac{1 - (-t)^n}{1+t}$

wat de volgende uitdrukking geeft:

$\frac{1}{1+t} = 1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} + \frac{(-t)^n}{1+t}$

en waaruit volgt:

$\int_0^x \frac{dt}{1+t} = \int_0^x \left( 1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} + \frac{(-t)^n}{1+t} \right) dt$

Door integratie verkrijgen we:

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + (-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1+t} dt$

Als $-1 < x \le 1$, neigt de overblijvende term naar 0 als $n \to \infty$.