Fréchetafgeleide

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Fréchet afgeleide is een afbeelding tussen Banachruimten. Het is genoemd naar de Franse wiskundige Maurice Rene Fréchet.

De Fréchet-afgeleide is een generalisatie van het begrip totale afgeleide uit de differentiaalrekening (vergelijk dit met de Gâteaux-afgeleide dat een generalisatie is van het begrip richtingsafgeleide (c.q. partiële afgeleide)). In de natuurkunde noemt men een Fréchet-afgeleide een functionele afgeleide.

Definitie[bewerken]

Laat X en Y Banachruimten zijn, F: X → Y en U een open deel van X. Dan heet F Fréchet differentieerbaar in x ∈ X als er een continue lineaire operator \Lambda : X \to Y bestaat waarvoor geldt

\lim_{h \to 0} \frac{||F(x+h) - F(x) - \Lambda(h)||}{||h||} = 0

Relaties met de Gâteaux-afgeleide[bewerken]

  • Elke Fréchet-differentieerbare afbeelding is Gâteaux-differentieerbaar en de afgeleiden stemmen met elkaar overeen.
  • De omkering is niet juist. Wel geldt:
    Als F Gâteaux-differentieerbaar is op een open deel U van X en F' is continu en F'(u) is een begrensde lineaire afbeelding voor elke u∈ U, dan is F Fréchet-differentieerbaar.

Eigenschappen[bewerken]

  • Als een afbeelding F Fréchet-differentieerbaar is, dan is F continu. (Zie ook bij Gâteaux-afgeleiden waarvoor die eigenschap niet geldt!).
  • Als a en b scalairen zijn uit het grondlichaam (Be: grondveld) van X, dan geldt voor F,G: X → Y: (aF+bG)' = aF' + bG' .
  • De kettingregel: Als F : X → Y en G: Y → Z, dan geldt: (GoF)'(x) = G'(F(x)).F'(x)
  • Als X = Rn en Y = Rm, dan is de Fréchet afgeleide niets anders dan de totale afgeleide uit de differentiaalrekening.
  • De Fréchet-afgeleide is te generaliseren tot afgeleiden van hogere orde.

Zie ook[bewerken]