Complement (verzamelingenleer)

Het complement A^c van de deel-verzameling A van U:
$A^c~~~=~~~U \setminus A$

In de verzamelingenleer is het complement van een deelverzameling A gedefinieerd met betrekking tot een verzameling U waarvan alle betrokken verzamelingen deel van zijn. Het complement van A is de deelverzameling van U bestaande uit alle elementen van U die niet tot A behoren.

De verzameling U wordt in dit verband als universele verzameling aangeduid en het complement van A genoteerd als

$A^c\,$ of $\bar{A}$,

zonder verdere verwijzing naar U.

$A^c=\{x \in U \mid x\notin A\}$.

Is U niet de universele verzameling, dan is er sprake van een relatief complement en is er geen speciale notatie. Het relatieve complement van A ten opzichte van B kan uitgedrukt worden als verschil

$B\setminus A$ of

$B-A\,$.

Eigenschappen

Het complement van het complement is de verzameling zelf:

$(A^c)^c=A\,$

Samen met het complement vormt een verzameling het hele universum:

$A^c\cup A=U\,$

Er is geen gemeenschappelijk element met het complement:

$A^c\cap A=\empty\,$

Buiten het universum is niets:

$U^c=\empty\,$

$\empty^c=U\,$

Regels van De Morgan:

$(A\cup B)^c =A^c\cap B^c\,$

$(A\cap B)^c =A^c\cup B^c\,$