Orde (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, wordt de term orde gebruikt in twee nauw verwante betekenissen:

  • de orde van een groep is gelijk aan de kardinaliteit, dat wil zeggen het aantal elementen van de groep;
  • de orde, soms periode, van een element a van een groep is het kleinste positieve gehele getal m, zodat am = e (waar e voor het neutrale element van de groep staat, en waar am staat voor het product van m exemplaren van a). Als zo'n m niet bestaat, zeggen we dat a een oneindige orde heeft. Alle elementen van eindige groepen zijn van een eindige orde.

We geven de orde van een groep G aan door de notatie ord(G) of |G| en de orde van een element a door ord(a) of |a|.

Voorbeeld[bewerken]

De symmetrische groep S3 heeft de onderstaande vermenigvuldigingstafel.

e s t u v w
e e s t u v w
s s e v w t u
t t u e s w v
u u t w v e s
v v w s e u t
w w v u t s e

Deze groep heeft zes elementen, zodat ord(S3) = 6. Per definitie is de orde van de identiteit, e, gelijk aan 1.

Elke s, t, en w kwadrateert tot e, dus hebben deze groepelementen een orde 2.

Zowel u en v hebben een orde 3, aangezien u2 = v en u3 = vu = e, en v2 = u en v3 = uv = e.