Carl Jacobi

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Carl Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi (Potsdam, 10 december 1804Berlijn, 18 februari 1851) was een Duits wiskundige.

Biografie[bewerken]

Hij werd als zoon van joodse ouders geboren. Zijn vader Simon Jacobi was bankier. Zijn oudste broer is de natuurkundige Hermann Jacobi. Zijn jongste broer volgde zijn vader op en werd ook bankier. Verder had hij nog een zuster.

Als kind kreeg hij thuis les van een oom van moederszijde. Tussen 1816 en 1821 bezocht hij het Victoria-gymnasium in Potsdam. Klaarblijkelijk was zijn oom een uitzonderlijke leraar en Jacobi een uitzonderlijke leerling, want nog tijdens zijn eerste jaar op het gymnasium werd hij in de eindexamenklas geplaatst. Aangezien hij pas op zijn zestiende naar de universiteit kon, bleef hij vier jaar in de eindexamenklas zitten. Hij had veel aanleg voor de klassieke talen en geschiedenis, maar het meest voor wiskunde. Hij bestudeerde Eulers Introductio in analysin infinitorum en probeerde de vijfdegraadsvergelijking in radicalen op te lossen. In 1821 begon hij zijn studie aan de Universiteit van Berlijn. Aangezien het niveau in de wiskunde vlak na de Napeolontische oorlogen in Berlijn nog niet zo hoog was, deed hij ook op de universiteit aan zelfstudie. Hij bestudeerde bijvoorbeeld de werken van Legendre. In 1824 was hij gerechtigd om op middelbare scholen les te geven in Grieks, Latijn en wiskunde. In 1825 en 1826 promoveerde en habilitierte hij bij Enno Dirksen. Zijn dissertatie had als onderwerp de analytische discussie over de theorie van de fracties.

Als jood mocht hij eigenlijk niet lesgeven, maar vanwege zijn briljante gaven maakte men een uitzondering. In 1825 kreeg hij een leraarschap aan het Joachimsthaler Gymnasium aangeboden, een van de beste middelbare scholen van Berlijn. Om toch in aanmerking te komen voor een universitaire positie verliet hij het joodse geloof en werd hij evangelisch. Vervolgens werd hij in 1826 benoemd aan de Universiteit van Königsberg. Zijn collega's daar waren onder anderen Franz Neumann, die hij al uit Berlijn kende, en Friedrich Bessel, die professor in de astronomie was. In 1827 werd hij benoemd tot geassocieerd professor. Op 11 september 1831 trad hij in het huwelijk met Marie Schwinck. Een paar maanden later, in mei 1832, werd hij tenslotte benoemd tot volledig professor.

In samenwerking met Neumann en Bessel hervormde hij het universiteitsonderwijs in Königsberg. Er werd nu veel meer nadruk gelegd op wiskundig onderzoek. Mede omdat hij beschouwd werd als een van de meest inspirerende docenten van zijn tijd verzamelde hij al snel een flink aantal begaafde leerlingen om zich heen. In willekeurige volgorde: Karl Wilhelm Borchardt, Eduard Heine, Friedrich Julius Richelot, Otto Hesse, Johann Georg Rosenhain, Wilhelm Scheibner en Paul Albert Gordan. Men kan stellen dat de herleving van de wiskunde aan de Duitse universiteiten in het verdere verloop van de 19de eeuw in Königsberg is begonnen.

In 1843 werd bij ziek. Hij bleek suikerziekte te hebben. Op advies van de dokter bracht hij een tijd in Italië door om daar door het betere klimaat te herstellen. Dit gebeurde inderdaad. Toen hij weer naar Pruisen terugkwam kreeg Jacobi dispensatie van de koning om overgeplaatst te worden naar de Universiteit van Berlijn. Het klimaat in Königsberg werd te extreem geacht. Om de hogere kosten van levensonderhoud en zijn medische kosten te kunnen betalen kreeg hij een salarisverhoging. Door zijn medische conditie gaf hij minder college dan eerder in Königsberg (dit extra geld was overigens nodig omdat Jacobi zijn vermogen was kwijtgeraakt in een economische recessie).

Sinds 1844 was Jacobi gewoon lid van de Pruisische Academie van Wetenschappen in Berlijn. In de revolutie van 1848 opereerde hij ongelukkig. In een politieke toespraak die hij in de 'Constitutionele Club' van Berlijn hield, slaagde hij erin om zowel de monarchisten als de republikeinen tegen zich in het harnas te jagen. Als gevolg hiervan kreeg hij van de Pruisische regering geen toestemming om toe te treden tot de staf van de Universiteit van Berlijn en werd de toelage op zijn salaris in 1849 ingetrokken. Hierdoor moest hij naar Gotha verhuizen. Na een paar maanden in Gotha accepteerde hij een aanbod van de Universiteit van Wenen. Naar aanleiding van dit aanbod gaf de Pruisische regering alsnog toestemming aan Jacobi om toch aan de Universiteit van Berlijn te doceren. Zijn familie moest echter in Gotha blijven. Jacobi bracht de zomer van 1850 met zijn familie in Gotha door. In januari 1851 kreeg hij griep, vlak daarna, nog voordat hij weer op krachten was gekomen, kreeg hij pokken. Hij stierf een paar dagen later op 46-jarige leeftijd.

Werk[bewerken]

In 1829 schreef Jacobi zijn klassieke verhandeling over elliptische functies, een werk dat van groot belang was voor de wiskundige natuurkunde, vanwege de behoefte om de "tweede orde kinetische energievergelijkingen te integreren". De bewegingsvergelijkingen in rotatie vorm zijn in slechts drie gevallen integreerbaar, de slinger, de symmetrische top in een zwaartekrachtveld, en in een vrijbewegend tollend lichaam. De oplossingen zijn in alle gevallen in termen van elliptische functies. Zie Jacobi's elliptische functies.

Jacobi was ook de eerste wiskundige, die elliptische functies toepaste in de getaltheorie, bijvoorbeeld voor zijn bewijs van de 2 square en de vier-kwadratenstelling van Lagrange van respectievelijk Pierre de Fermat en Lagrange. Behalve voor vier vierkanten bewees hij deze stelling ook voor zes en acht vierkanten. De Jacobi thèta-functies, die vaak worden toegepast in de studie van hypergeometrische series, zijn naar hem genoemd.

Hij bewees de functionele vergelijking van de thèta-functie.

Hij bewees de Jacobi-tripelproductformule en vele andere resultaten in q-series.

Hij gaf nieuwe bewijzen voor kwadratische reciprociteit, leverde bijdragen aan de hogere reciprociteitswetten, onderzocht kettingbreuken en formuleerde als eerste de Jacobi-sommen.

In 1841 herintroduceerde hij de partiële afgeleide ∂ notatie van Legendre, die nu nog steeds de standaard is.

Zijn onderzoekingen in de elliptische functies, de theorie waarvan hij op een nieuw fundament, en in het bijzonder de ontwikkeling van de thèta-functie, zoals uiteengezet in zijn grote werk Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum uit 1829, en in latere artikelen in Crelles Journal, constitueren zijn grootste analytische ontdekkingen. Op de tweede plaats komen zijn onderzoekingen op het gebied van de differentiaalvergelijkingen, waaronder de theorie van de last multiplier, die volledig wordt behandeld in zijn werk Vorlesungen über Dynamik, geredigeerd door Alfred Clebsch in 1866.

Het was vooral in de analytische ontwikkeling dat Jacobi’s bijzondere kracht lag. Hij leverde belangrijke analytische bijdragen aan ander deelgebieden van de wiskunde, zoals een blik op de lange lijst van zijn publicaties sinds 1826 in Crelles Journal en in andere tijdschriften voldoende aantonen. Hij was een van de vroege grondleggers van de determinantentheorie; in het bijzonder ontwikkelde hij de functionele determinant die door n² differentiële coëfficiënten van n gegeven functies van n onafhankelijke variabelen, die nu de naam Jacobiaan draagt, en die een zeer belangrijke rol speelt in vele analytische onderzoekingen. De Jacobiaan is een matrix die de partiële afgeleiden veralgemeent.

In een artikel uit 1835 bewees Jacobi het volgende:

Als een univariate enkelwaardige functie periodiek is, dan kan de ratio van de periodes geen reëel getal zijn, en dan kan zo'n periodieke functie niet meer dan twee perioden hebben.

Jacobi reduceerde de algemene vijfdegraadsvergelijking tot de vorm

x^5 - 10 q^2x = p.\,

Ook zijn artikel over Abelse transcendenten en zijn onderzoekingen in de getaltheorie, waarin hij vooral het werk van Gauss aanvult zijn waardevol.

De planetaire theorie en andere bijzondere dynamische problemen trokken van tijd tot tijd zijn aandacht. Terwijl hij bijdroeg aan de hemelmechanica introduceerde Jacobi in 1836 de Jacobi-integraal voor een sideraal coördinatensysteem.

Hij liet een grote hoeveelheid manuscripten achter, delen waarvan op verschillend momenten in Crelles Journal zijn verschenen. Zijn andere werken includeren Comnienlatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839), en Opuscula mathematica (18461857). Zijn Gesammelte Werke (18811891) werden door de Berlijnse Academie gepubliceerd. Misschien wel zijn meest bekende werk is de Hamilton-Jacobi-theorie in de klassieke mechanica.

Studenten van vectoren komen vaak in aanraking met de Jacobi-identiteit, terwijl zij die differentiaalvergelijkingen bestuderen dikwijls de Jacobi-determinant tegenkomen en zij die werken op het gebied van de getaltheorie en de cryptografie vaak het Jacobi-symbool tegenkomen.

De oplossing van het Jacobi-inversieprobleem voor de hyperelliptische Abel map door Karl Weierstrass in 1854 vereiste, zoals de naam al doet vermoeden, de introductie van de hyperelliptische thèta-functie en later ook de algemene Riemann-thèta-functie voor algebraïsche krommes van een willekeurig genus. Aan de complexe torus die is geassocieerd met een genus  g algebraïsche kromme, verkregen door  {\mathbf C}^g te delen door de tralie van perioden, wordt gerefereerd als de Jacobiaan of de Jacobiaanse variëteit.

Naar hem genoemd is verder het Jacobi-polynoom. Hij ontwikkelde het Jacobi-eigenwaarde algoritme om eigenvectoren van matrices te berekenen.

Citaten[bewerken]

  • "Wiskunde is de wetenschap van wat op zichzelf al duidelijk is."
  • "Inverteren, altijd inverteren." (Jacobi geloofde dat men vele moeilijke problemen het best kan oplossen wanneer zij van achter naar voren worden aangepakt).

Zie ook[bewerken]