Inverteerbaar

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde wordt een afbeelding of functie inverteerbaar of bijectief genoemd als er een afbeelding in de omgekeerde richting bestaat die precies de 'tegengestelde' is van f. Deze afbeelding heet de inverse van f en wordt genoteerd als f^{-1} (spreek uit als f-invers). Preciezer gezegd, als f:X\to Y een afbeelding is van een verzameling X naar een verzameling Y, dan heet f^{-1}:Y\to X de inverse van f als hij aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

  • Voor alle x \in X geldt \, f^{-1}(f(x))=x.
  • Voor alle y \in Y geldt \, f(f^{-1}(y))=y.

Deze voorwaarden kunnen we ook schrijven als f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_X (f^{-1} is een linksinverse van f) en f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_Y (f^{-1} is een rechtsinverse van f). Hier staat het symbool o ('na') voor de samenstelling van twee afbeeldingen en \mathrm{id}_X en \mathrm{id}_Y voor de identieke afbeelding op X respectievelijk Y.

Een functie f van een verzameling X naar een verzameling Y is inverteerbaar dan en slechts dan als er voor ieder element y van Y precies één element x van X is waarvoor f(x)=y. Een andere manier om dit te zeggen is dat f zowel injectief is (voor elke y \in Y is er hoogstens één x \in X met f(x)=y) als surjectief (voor elke y is er minstens één zo'n x).