Anti-symmetrische matrix

Een anti-symmetrische matrix of scheef-symmetrische matrix is een matrix waarvan de getransponeerde gelijk is aan zijn tegengestelde. Het begrip wordt vooral gebruikt in de lineaire algebra, maar heeft ook veralgemeningen, zoals bijvoorbeeld de notie van anti-symmetrische tensor.

Definitie en eigenschappen

Een matrix A is dus anti-symmetrisch indien zijn getransponeerde gelijk is aan zijn tegengestelde:

$A^T = -A \,$

Dit wil zeggen dat voor de componenten $(a_{ij}) \,$ van de matrix geldt dat:

$a_{ij}=-a_{ji} \,$ voor alle $i \,$ en $j \,$

De volgende matrix is een voorbeeld van een anti-symmetrische matrix:

$\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{bmatrix}$

Men kan nagaan dat de som van twee anti-symmetrische matrices ook anti-symmetrisch is, en ook het nemen van een scalair veelvoud behoudt deze eigenschap. Ook moeten de diagonaalelementen van een anti-symmetrische matrix steeds nul zijn. Bijgevolg is het spoor van een anti-symmetrische matrix steeds nul.

Verwante begrippen

De bovenstaande definitie is erg gelijkaardig aan deze van een symmetrische matrix (bijvoorbeeld de eenheidsmatrix). Voor deze laatste geldt immers dat

$A^T=A\,$

Ook verwant is een orthogonale matrix, waarvoor de transpose ook zijn inverse is:

$A^T=A^{-1}\,$

Kwantummechanica

Zie Anti-symmetrische golffunctie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de kwantummechanica is het begrip anti-symmetrische golffunctie van primordiaal belang: het duidt op een matrixvoorstelling van een golffunctie waarbij men rekening houdt het feit dat elektronen ononderscheidbaar zijn en dat zij dus niet een vooraf bepaald orbitaal kunnen voorkomen. Elektron 1 kan bijvoorbeeld in orbitaal 1 gelokaliseerd zijn, maar evengoed in orbitaal 13. Een voorstelling in determinantvorm van een anti)symmetrishe golffunctie wordt een Slaterdeterminant genoemd.

Zie ook

• Symmetrische matrix
• Anti-symmetrische tensor
• Symplectische matrix

Externe links

• Antisymmetrische matrix op Wolfram-site