Dekpunt

Een functie met drie dekpunten

In de wiskunde is een dekpunt, fixpunt of vast punt van een functie $f\!$ een invoerwaarde van de functie, die door deze functie op zichzelf wordt afgebeeld. Dat wil zeggen dat $x\!$ dan en slechts dan een dekpunt van een functie $f\!$ is als $f(x)=x\!$ . Voor een op de reële getallen gedefinieerde functie f, bijvoorbeeld

$f(x)=x^2-3x+4\!$

is 2 dus een dekpunt van $f\!$ , aangezien $f(2)=2\!$ .

Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat $f\!$ een op de reële getallen gedefinieerde functie, $f(x)=x+1\!$ , is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien $x\!$ voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan $x+1\!$ . In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt $(x,f(x))\!$ op de lijn $y=x\!$ , of in andere woorden de plaats, waar de grafiek van $f\!$ de lijn $y=x\!$ snijdt. Het voorbeeld $f(x)=x+1\!$ is een geval waar de grafiek van de functie en de lijn $y=x\!$ een paar evenwijdige lijnen zijn.

Punten die na een eindig aantal iteraties van de functie terugkeren op de uitgangswaarde staan bekend als periodieke punten; een dekpunt is een periodiek punt met een periode gelijk aan één.

Het vinden van dekpunten [bewerken]

De dekpuntiteratie

Een manier om dekpunten te vinden is om met een gok $x_0 = g$ te beginnen. Vervolgens passen we $f(x)$ hier herhaald op toe. Dus $x_1 = f(x_0)$ , $x_2 = f(x_1)$ , enz...

Oftewel: $a_{i} = \left\{\begin{matrix}f(a_{i-1}) &\mbox{als } i > 0 \\ g &\mbox{als } i = 0\end{matrix}\right.$

Als de rij convergent is zal deze convergeren naar een dekpunt. Het is gemakkelijk te zien dat deze rij niet voor alle functies en alle g's zal convergeren. Neem de functie $f(x) = -x$ en de rij a zal steeds heen en weer springen tussen g en -g.

De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:

De functie is gedefinieerd op een gesloten interval I, en $f(x) \in I$ als $x \in I$
Er een positief getal r<1 bestaat zodat voor iedere u en v in I geldt dat $|f(u)-f(v)|<r|u-v|$
$g \in I$

Het nut van dekpunten [bewerken]

Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Een belangrijk voorbeeld:
Bekijk de algemene eerste orde differentiaalvergelijking $\frac{df(x)}{dx} = g(x,f(x))$ met beginvoorwaarde f(a)=y₀.
Hierbij is $g:[a,b]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ een continue functie.
Bekijk de integraalvergelijking $f(x) = y_0 + \int_a^x g(t,f(t))\ dt$
Als f hieraan voldoet, dan is f'(x) = g(x,f(x)) en f(a)=y₀.
Deze integraalvergelijking is dus gelijkwaardig met de differentiaalvergelijking+beginvoorwaarde.
Zij C[a,b] de verzameling van continue functies op [a,b]
Definieer functie Uf door $[Uf](x) = y_0 + \int_a^x g(t,f(t))\ dt$
Dan is U: C[a,b] → C[a,b]. Als U een dekpunt f∈C[a,b] heeft, dan is Tf=f.
Dat wil zeggen f is dan een oplossing van de differentiaalvergelijking+beginvoorwaarde.
(Zie voor een uitgewerkt voorbeeld bij de Contractiestelling van Banach).