Meervoudig nulpunt van een polynoom

Binnen de wiskunde heet een getal $a \in \mathbb{R}$ een meervoudig nulpunt van een polynoom f als f meer dan een keer deelbaar is door x - a. Het aantal keren dat f deelbaar is door x - a heet de multipliciteit van het nulpunt a. Als de multipliciteit k is, heet a een k-voudig nulpunt of nulpunt met multipliciteit k. Voor zo'n nulpunt is er een polynoom g waarvoor geldt:

$g(a) \neq 0\,$

en

$f(x) = (x-a)^k g(x)$.

Een nulpunt met multipliciteit 1 wordt ook gewoon nulpunt genoemd. Om het aantal nulpunten van een polynoom aan te geven, wordt een k-voudig nulpunt als k nulpunten meegeteld; nulpunten worden naar hun multipliciteit gerekend.

Voorbeeld

Een polynoom, met een enkelvoudig nulpunt voor x=-4 en een tweevoudig nulpunt voor x=1

Zij gegeven het polynoom (zie de figuur rechts):

$f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4$.

Er geldt:

$f(1) = 0\,$,

dus 1 is een nulpunt, zodat we f nu kunnen herschrijven als

$f(x) = (x-1)r(x)$.

Met behulp van staartdelen kan r worden bepaald:

$f(x) = (x-1)(x^2 + 3x - 4)$.

Het polynoom $x^2 + 3x - 4$ kan vervolgens worden ontbonden in $(x - 1)(x + 4)\,$, zodat:

$f(x) = (x-1)^2(x+4)$.

Daaruit zien we dat 1 een tweevoudig nulpunt is van het polynoom f en -4 een enkelvoudig nulpunt.

Zie ook

• Hoofdstelling van de algebra