Algebraïsch getallenlichaam

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een algebraïsch getallenlichaam in Nederland of algebraïsch getallenveld in België, ook korter getallenlichaam of getallenveld, een eindige, dus ook algebraïsche uitbreiding van het lichaam/veld van de rationale getallen \Q.

De rationale getallen \Q zijn dus een echte deelverzameling van elk algebraïsch getallenlichaam F en F heeft als vectorruimte over \Q een eindige dimensie, die de graad van het algebraïsche getallenlichaam wordt genoemd.

De studie van algebraïsche getallenlichamen en meer in het algemeen van algebraïsche uitbreidingen van de rationale getallen, is het centrale onderzoeksgebied van de algebraïsche getaltheorie.

Als aan \Q de nulpunten van een of meer polynomen worden toegevoegd, ontstaat als uitbreiding een algebraïsch getallenlichaam. Door aan \Q de algebraïsche getallen \alpha_1,\ldots,\alpha_n toe te voegen die nulpunten zijn van een of meer polynomen, ontstaat een algebraïsch getallenlichaam dat genoteerd wordt als \Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_n). Het maakt geen verschil, dat het om de uitbreiding van \mathbb{Q} gaat waar algebraïsche getallen in het algemeen of waar alleen algebraïsch gehele getallen aan worden toegevoegd, omdat ieder algebraïsch getal element is van \mathbb{Q} met daar één algebraïsch geheel getal aan toegevoegd.

Voorbeeld[bewerken]

De getallen \alpha_1=\sqrt[3]2, een nulpunt van f_1(x)=x^3-2 en \alpha_2=-\tfrac 12+\tfrac 12 i\sqrt 3, een nulpunt van f_2(x)=x^2+x+1, zijn algebraïsche getallen. Het algebraïsche getallenlichaam dat ontstaat door toevoegen van \alpha_1 en \alpha_2 aan \Q, heet \Q(\alpha_1,\alpha_2) en is een deellichaam van de complexe getallen. De graad van \Q(\sqrt[3]2,-\tfrac 12+\tfrac 12 i\sqrt 3) is 6.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • Serge Lang, Algebraic Number Theory (Algebraïsche getaltheorie), 2e ed, Springer, 2000