Algebraïsch geheel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie is een algebraïsch geheel getal een complex getal dat een wortel is van een monische ('monieke') polynoom, dit is een polynoom waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht 1 is en waarvan de overige coëfficiënten geheel zijn.

Dus z is een algebraïsch geheel getal als

 \exists n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}, a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{Z}:z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0 = 0.


De doorsnede van de algebraïsche gehele getallen met de rationale getallen zijn precies de gehele getallen. Met andere woorden: een rationaal getal is pas een algebraïsch geheel getal als het geheel is. Omgekeerd is ieder algebraïsch getal te schrijven als een breuk van algebraïsche gehele getallen.

Voorbeelden[bewerken]

  • Ieder geheel getal n is een algebraïsch geheel getal, want het is een wortel van de polynoom f(z) = z-n.
  • \sqrt2 en de imaginaire eenheid i=\sqrt{-1} zijn algebraïsche gehele getallen.
  • De eenheidswortels of getallen van de Moivre, zijn de complexe getallen, die 1 opleveren, wanneer zij tot een gegeven macht worden verheven. Het zijn algebraïsch gehele getallen. Zij liggen in het complexe vlak gelijk verdeeld op de eenheidscirkel. 1 is de triviale eenheidswortel.
  • Iedere n-de machtswortel uit een geheel getal, positief of negatief, is een algebraïsch geheel getal.

Ringstructuur[bewerken]

De verzameling van alle algebraïsche gehele getallen is gesloten onder optellen en vermenigvuldigen en is daarom een deelring van de algebraïsche getallen die vaak wordt aangeduid met de letter A. De ring A is de integrale sluiting van de gewone gehele getallen Z in de complexe getallen, of in de algebraïsche getallen.

De ring van de gehele getallen van een algebraïsch getallenlichaam K, aangeduid met OK, is de doorsnede van K en A: het kan ook worden gekarakteriseerd als de maximale orde van het veld K. Elk algebraïsch geheel getal behoort tot de ring van de gehele getallen van een getallenlichaam. Een getal x is een algebraïsch geheel getal dan en slechts dan als de ring Z[x] eindig voortgebracht wordt als abelse groep, dat wil zeggen als Z-moduul.

De ring der algebraïsche getallen is een integriteitsdomein en zijn quotiëntenlichaam is (isomorf met) het algebraïsche getallenlichaam.

Veralgemening[bewerken]

Een element van een ring heet integraal over een deelring als het voldoet aan een vergelijking zoals boven gegeven, maar met coëfficiënten in die deelring.

Literatuur[bewerken]

  • (en) Daniel A. Marcus, Number Fields, Getallenlichamen, derde editie, Springer-Verlag, 1977

Andere gehele getallen[bewerken]