Algebraïsch geheel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie is een algebraïsch geheel getal een complex getal dat een wortel is van een monische polynoom (monisch: leidende coëfficiënt is 1) met gehele coëfficiënten. In symbolen: z is een algebraïsch geheel getal als

\exists n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}, a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{Z}:z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0=0.

Motivering[bewerken]

De algebraïsche gehele getallen vormen een deelring van het lichaam der algebraïsche getallen die op verschillende manieren de "vanzelfsprekende" uitbreiding vormen van de gewone gehele getallen als deelring van het lichaam der rationale getallen.

De doorsnede van de algebraïsche gehele getallen met de rationale getallen zijn precies de gehele getallen, met andere woorden: een rationaal getal is pas een algebraïsch geheel getal als het geheel is. Omgekeerd is ieder algebraïsch getal te schrijven als een breuk van algebraïsche gehele getallen.

Voorbeelden[bewerken]

  • Ieder geheel getal z is een algebraïsch geheel getal, want het is een wortel van de monische polynoom p(x) = x-z.
  • \sqrt2 en de imaginaire eenheid i=\sqrt{-1} zijn algebraïsche gehele getallen; algemener is iedere n-de machtswortel uit een gewoon geheel getal, een algebraïsch geheel getal.

Ringstructuur[bewerken]

De verzameling van alle algebraïsche gehele getallen is gesloten onder de operaties optellling en vermenigvuldigen en is daarom een deelring van de algebraïsche getallen die vaak wordt aangeduid met de letter A. De ring A is de integrale sluiting van de gewone gehele getallen Z in de complexe getallen (of in de algebraïsche getallen).

De ring van de gehele getallen van een algebraïsch getallenlichaam K, aangeduid met OK, is de doorsnede van K en A: het kan ook worden gekarakteriseerd als de maximale orde van het veld K. Elk algebraïsch geheel getal behoort tot de ring van de gehele getallen van een getallenlichaam. Een getal x is een algebraïsch geheel getal dan en slechts dan als de ring Z[x] eindig voortgebracht wordt als abelse groep, dat wil zeggen als Z-moduul.

De ring der algebraïsche getallen is een integriteitsdomein en zijn quotiëntenlichaam is (isomorf met) het algebraïsche getallenlichaam.

Veralgemening[bewerken]

Op een abstracter niveau heet een element van een ring integraal over een deelring als het voldoet aan een monische veeltermvergelijking met coëfficiënten in die deelring.

Referenties[bewerken]

  • (en) Daniel A. Marcus, Number Fields (Getallenlichamen), derde editie, Springer-Verlag, 1977

Zie ook[bewerken]