Symmetrisch verschil

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Venndiagram van het symmetrische verschil (rood) van twee verzamelingen

In de verzamelingenleer is het symmetrische verschil van twee verzamelingen de verzameling die de elementen bevat die tot een van de twee verzamelingen behoren, maar niet tot beide. Het symmetrische verschil van A en B wordt genoteerd als A Δ B. Het symmetrische verschil komt overeen met het "uitsluitende of", dat wil zeggen met de operator XOR.

Definitie[bewerken]

Het symmetrische verschil A Δ B van de verzamelingen A en B is de gedefinieerd door:

A\Delta B = \{x: x \in A\cup B \and x \not\in A\cap B\}

Het symmetrische verschil kan ook geschreven worden als:

A\Delta B = (A\cup B) \setminus (A\cap B)
A\Delta B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)
A\Delta B = (A\cap B^c) \cup (B\cap A^c)

Eigenschappen[bewerken]

Commutativiteit:

A \Delta B = B \Delta A

Associativiteit

(A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C).

De lege verzameling is neutraal element

A \Delta \varnothing = A,\,

Elke verzameling in z'n eigen tegengestelde:

A \Delta A = \varnothing

Samen betekenen deze eigenschappen dat de deelverzamelingen van een gegeven verzameling een abelse groep vormen met het symmetrische verschil als groepsbewerking. En omdat elk element z'n eigen tegengestelde is, vormen de deelverzamelingen een vectorruimte over het eindige lichaam Z2 met twee elementen.

Doorsnede is distibutief:

A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C),

zodat de deelverzamelingen zelfs een ring vormen met het symmetrische verschil als optelling en doorsnede als vermenigvuldiging.

Generalisatie[bewerken]

In elke Booleaanse algebra kan op analoge wijze als voor verzamelingen het symmetrische verschil van twee elementen gedefinieerd worden:

 a \Delta b = (a \lor b) \land \lnot(a \land b) = (a \land \lnot b) \lor (b \land \lnot a)

Deze bewerking heeft dan dezelfde eigenschappen als voor verzamelingen.


Zie ook[bewerken]