Bozanic speelde in de jeugdopleiding van Central Coast Mariners, maar verkaste in 2007 naar het Engelse Reading.[1] Die club verhuurde hem achtereenvolgens aan Woking, Cheltenham Town en Aldershot Town, maar ondanks dat moest hij vertrekken in 2010.[2] Hierop tekende de middenvelder opnieuw bij Central Coast Mariners,[3] waarvoor hij uiteindelijk zeventig competitiewedstrijden zou spelen. Op 14 juni 2013 vertrok Bozanic opnieuw naar Europa, waar hij voor twee jaar tekende bij FC Luzern in Zwitserland.[4] Twee jaar later keerde de Australiër voor de tweede maal terug naar zijn vaderland, waar hij nu voor Melbourne Victory ging spelen.[5] In maart 2017 verkaste hij naar Ventforet Kofu.[6] Aan het einde van datzelfde kalenderjaar verliet de middenvelder de club weer.[7] Ruim een maand later sloot de Australiër zich aan bij Pohang Steelers.[8] Een week later ging die overgang niet door, vanwege mislukte onderhandelingen.[9] Een maand na deze mislukte onderhandelingen vond hij alsnog een nieuwe club, in Melbourne City.[10] In juli 2018 tekende Bozanic een contract voor twee jaar bij Heart of Midlothian.[11] Na zijn vertrek uit Schotland in juli 2020 zat Bozanic drie maanden zonder club, alvorens hij terugkeerde bij Central Coast Mariners.[12] Medio 2022 nam Western Sydney Wanderers hem over met een contract voor twee jaar.[13] In september 2023 huurde Perth Glory hem voor een half jaar.[14]
Australië
.svg){kind=small}
FC Luzern
Canada – Australië 
Duitsland – Australië 
Macedonië – Australië