Oppervlakte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

(Doorverwezen vanaf Oppervlak)

De oppervlakte (ook grootte) geeft aan hoe groot een 2-dimensionaal gebied is. Dit kan de oppervlakte zijn van een tweedimensionale vorm, maar ook de oppervlakte van een driedimensionale vorm. Oppervlakte wordt ook wel grootte genoemd, met name bij die van percelen.

De SI-eenheid van oppervlakte is de vierkante meter, m². Deze is afgeleid van de SI-eenheid meter.

Voor niet-SI-eenheden (are, bunder enzovoort), zie: vlaktemaat.

[bewerk] Formules

De oppervlakte kan als volgt worden berekend:

$\iint dA$ (2D-oppervlak)

$\iiint dA$ (3D-oppervlak),

waarbij over het oppervlak geïntegreerd wordt.

[bewerk] 2D

De oppervlakte van enkele tweedimensionale objecten:

Oppervlakte van een vierkant: zijde x zijde
Oppervlakte van een rechthoek: lengte × breedte
Oppervlakte van een ruit: (hoogte × breedte) / 2 (waarin hoogte en breedte de diagonalen zijn)
Oppervlakte van een driehoek: ½ × basis × hoogte
- de oppervlakte kan ook met behulp van de formule van Heron worden berekend.
Oppervlakte van een cirkel: π r² (waarin r de straal van de cirkel is), of π d² x 1/4

[bewerk] 3D

De oppervlakte van enkele driedimensionale objecten:

Oppervlakte van een kubus: 6 s², waarin s de lengte is van een zijde van de kubus.
Oppervlakte van een balk: 2 ((l × w) + (l × h) + (w × h)), waarin l, w en h de lengte, breedte en hoogte zijn van de balk.
Oppervlakte van een bol: 4 π r² waarin r de straal van de bol is.
Oppervlakte van een cilinder: 2 π r (h + r), waarin r de straal van de cirkelvormige basis is, en h de hoogte van de cilinder.
Oppervlakte van een kegel: π r (r + √(r² + h²)), waarin r de straal van de cirkelvormige basis is, en h de hoogte van de kegel.

[bewerk] Wiskundige afleiding

Gebruik makend van $A=\iint dA$ :

rechthoek: $\int_0^b \int_0^l 1 dA = b l$ (b: breedte, l: lengte)

cirkel: $\int_{-y}^y \int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}}dydx=\pi R^2$ . Uiteraard is het eleganter de cirkel polair te beschrijven, en in een polair assenstelsel te integreren!

De maattheorie levert een exacte en algemene definitie voor het begrip oppervlakte aan de hand van een maat. Voor vlakke tweedimensionale figuren hanteert men de Lebesgue-maat op $\mathbb{R}^2$ . Voor gekromde oppervlakken bestaat enerzijds het volumebegrip uit de differentiaalmeetkunde, anderzijds de Haarmaat uit de theorie der Lie-groepen.