Overleg:Functionaalanalyse

Hilbert, Banach en volgorde

In het stukje Banachruimten wordt gesteld dat Banachruimten niet zo eenvoudig te classificeren zijn. Misschien begrijp ik het verkeerd, maar is het niet eenvoudiger en logischer Banachruimten voor Hilbertruimten te noemen, volgens mij is er dan geen probleem Banachruimten te classificeren.

Bijvoorbeeld:

Banachruimten, Banachruimten zijn compleet genormeerde vectorruimten; dat wil zeggen vectorruimten met een eindige norm voor elke vector en compleet in de metriek geinduceerd door de norm. ...

Hilbertruimten, Hilbertruimten zijn Banachruimten met daarop een inproduct gedefinieerd. Dit inproduct induceerd op zijn beurt weer een norm ||x||=<x,x> ... (L_2, kwantummechanica, etc.) ... --jaap (overleg) 14 dec 2011 00:15 (CET)

Met 'classificeren' bedoelt men doorgaans 'alle isomorfieklassen beschrijven' (of iets in die trant). Dus een lijst met (elkaar uitsluitende) eigenschappen ("invarianten") maken, zodat twee objecten isomorf zijn precies dan als ze beide eenzelfde eigenschap uit de lijst hebben. Denk bijvoorbeeld aan het classificeren van alle eindige simpele groepen (erg moeijlijk, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups), of alle vectorruimten (eenvoudig: dimensie is de invariant). Dit laatste blijkt vrijwel hetzelfde te zijn voor Hilbert-ruimten, zoals de tekst ook zegt: voor elke kardinaliteit van de orthonormale basis bestaat er een unieke Hilbertruimte "up to" isomorfisme. Voor Banach-ruimten is iets dergelijks niet bekend (waarbij isomorfisme van Banach-ruimten meestal isometrisch isomorfisme betekent).

Classificeren is dus niet simpelweg 'een definitie geven' (letterlijk natuurlijk wel: je classificeert 'alle objecten in de wiskunde' die aan de definitie voldoen, maar dit is een tautologie (volgens de definitie van 'definitie' :) )). 145.97.197.215 3 jan 2012 18:43 (CET)