Basjasjkin speelde het grootse deel van zijn carrière voor CSKA Moskou, onder de toenmalige benamingen CDKA en CDSA, waarmee hij vier keer de landstitel won. Hij nam in 1952 met zijn land deel aan de Olympische Spelen in Helsinki en was kapitein, maar na een nederlaag tegen Joegoslavië moest hij de aanvoerdersband afgeven. Het verlies op de Spelen, uitgerekend tegen Joegoslavië, waar het land al jaren een politiek conflict mee had had zware gevolgen voor CDSA Moskou, dat door Jozef Stalin ontbonden werd. Hierop trok hij naar Spartak Moskou, waar hij ook kampioen mee werd. Na het overlijden van Stalin werd de club in 1954 nieuw leven in geblazen en keerde Basjasjkin terug naar zijn club.
In 1956 won hij op de Spelen in Melbourne, met zijn team de gouden medaille. Deze keer werd Joegoslavië verslagen in de finale.
Na zijn spelerscarrière ging hij het leger in voor lange tijd. In 1976 werd hij trainer van Pachtakor Tasjkent.
