Bètafunctie

De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde. Hij is gedefinieerd als

$B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{{x-1}}(1-t)^{{y-1}}{{\rm {d}}}t$

voor complexe getallen x en y waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in $x$ en $y$, wat wil zeggen dat $B(x,y)=B(y,x)$.

De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt

$B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$.

Andere identiteiten waaraan de bètafunctie voldoet, zijn

$B(x,y)=2\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}}\sin ^{{2x-1}}\theta \cos ^{{2y-1}}\theta \,{{\rm {d}}}\theta \qquad ({{\rm {Re}}}(x)>0,\ {{\rm {Re}}}(y)>0)$

$B(x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{x-1}}}{(1+t)^{{x+y}}}}\,{{\rm {d}}}t\qquad ({{\rm {Re}}}(x)>0,\ {{\rm {Re}}}(y)>0)$

$B(x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(x)_{{n+1}}}{n!(x+n)}}$.

Externe links

• Bètafunctie op MathWorld