Bètafunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde. Hij is gedefinieerd als

B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}{\rm d}t

voor complexe getallen x en y waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in x en y, wat wil zeggen dat B(x,y)=B(y,x).

De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt

B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

De bètafunctie kan op veel andere manieren geschreven worden:

\Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,{\rm d}\theta, \quad({\rm Re}(x)>0,\ {\rm Re}(y)>0)
\Beta(x,y)=\int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,{\rm d}t\qquad({\rm Re}(x)>0,\ {\rm Re}(y)>0)
\Beta(x,y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{y^{n+1}}{n!(x+n)}
\Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{{n-y \choose n}} {x+n}
\Beta(x,y)=\frac{x+y}{xy}\prod_{n=1}^\infty\frac{1+\frac{x+y}{n}}{(1+\frac xn)(1+\frac yn)}

Eigenschap[bewerken]

\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \frac{\pi}{x \sin(\pi y)}

Externe links[bewerken]