Bètafunctie

De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde. Hij is gedefinieerd als

$B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}{\rm {d}}t$$B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}{\rm {d}}t$

voor complexe getallen x en y waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in $x$$x$ en $y$$y$, wat wil zeggen dat $B(x,y)=B(y,x)$$B(x,y)=B(y,x)$.

De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt

$B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$$B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$.

De bètafunctie kan op veel andere manieren geschreven worden:

$\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,{\rm {d}}\theta ,\quad ({\rm {Re}}(x)>0,\ {\rm {Re}}(y)>0)$$\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,{\rm {d}}\theta ,\quad ({\rm {Re}}(x)>0,\ {\rm {Re}}(y)>0)$

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(x)>0,\ {\rm {Re}}(y)>0)$$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(x)>0,\ {\rm {Re}}(y)>0)$

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}$$\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}$

$\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}}$$\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}}$

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {x+y}{n}}}{(1+{\frac {x}{n}})(1+{\frac {y}{n}})}}$$\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {x+y}{n}}}{(1+{\frac {x}{n}})(1+{\frac {y}{n}})}}$

Eigenschap

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}$$\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}$

Externe links

• Bètafunctie op MathWorld