Doosparadox van Bertrand

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De doosparadox van Bertrand is een klassieke paradox van de kansrekening. Hij is geïntroduceerd door Joseph Bertrand in zijn werk Calcul des probabilités (1889).

Veronderstel er zijn drie doosjes: een met twee gouden munten, een met twee zilveren munten en een met een gouden en een zilveren munt. Als je willekeurig een doosje kiest, en je pakt daaruit geheel willekeurig een munt en die blijkt van goud te zijn, wat is dan de kans dat de andere munt ook van goud is? Gevoelsmatig wordt vaak gedacht dat die kans 1/2 is. Er zijn immers twee mogelijkheden voor de tweede munt en die zijn op het eerste gezicht even waarschijnlijk. Maar in feite is de kans 2/3.

Dit is als volgt in te zien: In totaal zijn er evenveel gouden als zilveren munten. In de helft van alle gevallen trekt men dus een gouden munt. In een van de drie gevallen kwam de munt uit het doosje met de twee gouden munten en slechts in een op de zes gevallen uit het doosje met een gouden en een zilveren munt. De verhouding van deze mogelijkheden is dus

Formeel wordt dit als volgt beschreven. Noem het doosje met de twee gouden munten , het doosje met een gouden en een zilveren munt en het doosje met twee zilveren munten . Dan is:

Noem de gebeurtenis dat de getrokken munt van goud is . De kans op een gouden munt uit is 1, voor is de kans op een gouden munt 1/2 en voor is het onmogelijk, dus:

De kans op een gouden munt is dus volgens de wet van de totale kans:

Omdat het gekozen doosje een gouden munt bevatte, kan dit alleen doosje of geweest zijn. De vraag is nu of het doosje was. Volgens het theorema van Bayes voor voorwaardelijke kansen geldt:

Er zijn veel varianten mogelijk op dit probleem, bijvoorbeeld met kaarten met markeringen op beide kanten van de kaart.

Het 'driedeurenprobleem' en 'De drie gevangenen' zijn verwante problemen.