Gebruiker:Bart vanderbeke/Kladblok

Eigencirkel van een $2\times 2$ matrix

Het concept eigencirkel is gedefinieerd door Englefield & Farr in hun artikels 2006 en 2010.

Eigencirkels vereenvoudigen een geometrische interpretatie van lineair transformaties. (p.281 Figure 1)

Ze laten toe aspecten van lineaire transformaties te visualiseren en vereenvoudigen zo het afleiden van eigenschappen.

Dit artikel behandelt een aantal elementaire eigenschappen van eigencirkels.

De gerefereerde artikels bevatten nog meer afleidingen.

Eigenwaarden in het kort

Een eigenwaarde van een vierkante $2\times 2$ matrix $A$ is een getal $\lambda$ waarvoor geldt dat $AX=\lambda X$ voor een $X\neq 0$.

Fig. 1: Elementaire eigenschappen van een eigencirkel

Fig. 2: karakteristieke punten van een eigencirkel

Fig. 3: Het lezen van de eigenvectorenb op een eigencirkel

Fig. 4: Eigencirkel en rotatie en schaling van een vector

Om de eigenwaarden $\lambda$ van een matrix $A$ te bepalen, dient een oplossing gevonden te worden voor de vergelijking $\det(A-\lambda I)=0$.

De verzameling eigenwaarden $EV$ kan worden geschreven als:

$EV=\left\{\lambda \ |\ \exists {\vec {x}}\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]and\ \left[{\begin{matrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]\right\}$

uitbreiden van het concept eigenwaarde

We breiden het concept eigenwaarde uit door te zoeken naar de elementen van de verzameling $EC$: (p.439 (2))

$EC=\left\{\left(\lambda ,\mu \right)\ |\ \exists \left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]and\ \left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]\right\}$

gebruikmakend van d it ruimere concept, kan voor elke $\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]$ een $(\lambda ,\mu )$ worden gevonden zodat geldt: (p.439)

$L_{\lambda \mu }\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]$

$\left(\lambda ,\mu \right)$ wordt een $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenpaar$ genoemd en $\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]$ is de corresponderende $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenvector$. (p.439)

De bestaansvoorwaarde $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenparen$ kan worden geschreven als: (p.440)

$EC=\left\{\left(\lambda ,\mu \right)\ |\ \exists {\vec {x}}\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]en\ \left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]\right\}\neq \left\{\right\}$

$det\left(A-L_{\lambda \mu }\right)=\left|{\begin{matrix}a-\lambda &b+\mu \\c-\mu &d-\lambda \\\end{matrix}}\right|=0$

$\lambda ^{2}-\left(a+d\right)\lambda +\det {\left(A\right)}-\left(b-c\right)\mu +\mu ^{2}=0$

Gebruikmakend van onderstaande identiteiten kan de bovenstaande vergelijking worden vereenvoudigd: (p.440 (6)-(10))

$f={\frac {\left(a+d\right)}{2}}$

$g={\frac {\left(b-c\right)}{2}}$

$r^{2}=f^{2}+g^{2}$

$\det {\left(A\right)}=r^{2}-\rho ^{2}$

$\rho ^{2}=\left({\frac {a-d}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {b+c}{2}}\right)^{2}$

De vereenvoudigde uitdrukking volgt hieronder: (p.440 (10))

$\left(\lambda -f\right)^{2}+\left(\mu -g\right)^{2}-\rho ^{2}=0$

Visualisatie

De verzameling $EC$ die alle $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenwaarden$ bevat, is een cirkel op het $\left(\lambda ,\mu \right)-vlak$ met centrum $C(f,g)$ en straal $\rho$. (p.440 (10))

Deze cirkel wordt de eigencirkel van $A$ genoemd.

Dit wordt vooregsteld in Figuur 1. (FIGURE 1)

$EC=\left\{\left(\lambda ,\mu \right)\ |\ \exists {\vec {x}}\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]en\ \left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]\right\}$

$EC=\left\{\left(\lambda ,\mu \right)\ |\ \left(\lambda -f\right)^{2}+\left(\mu -g\right)^{2}-\rho ^{2}=0\right\}$

Elke eigencirkel bevat vier karateristieke $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenparen$. Dit wordt getoond in Figuur 2. (p.282 Figure 1)

De constructie in Figuur 3 toont hoe de eigenvectoren van de matrix $A$ kunnen worden gelezen in de eigencirkel. (p.283 Figure 2)

Figuur 4 illustreert hoe het bestaan van een $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenpaar$ $\left(\lambda _{1},\mu _{1}\right)$ kan worden geïnterpreteerd:

Indien $\left(\lambda _{1},\mu _{1}\right)_{cartesian}=\left(s_{1},-\theta _{1}\right)_{polar}$ bestaat op de eigencirkel, dan moet er een vector $x_{1}$ bestaan, met $\|x_{1}\|=1$, zodat $\angle \left(x_{1},Ax_{1}\right)=\theta _{1}$ en $\|Ax_{1}\|=s_{1}$.