Gebruiker:Madyno/Kladblok/Eindig lichaam

Matrix

De lineaire afbeelding $L:V\to W$ heeft tov de bases $v_{1},\ldots ,v_{n}$ van $V$ en $w_{1},\ldots ,w_{m}$ van $W$ de $m\times n$-matrix $A$. De coefficienten van de beelden $Lv_{1},\ldots ,Lv_{n}$ van de basisvectoren vormen de $n$ kolommen van de matrix $A$:

$Lv_{k}=\sum _{r=1}^{m}c_{kr}w_{r}$

$A_{rk}=c_{kr}$

$A=((c_{11},\ldots ,c_{1m}),\ldots ,(c_{n1},\ldots ,c_{nm}))=c^{T}$

Een $1\times n$-matrix $A$ is dus de rijvector

$A=((c_{11}),\ldots ,(c_{n1}))=c^{T}$

En een $m\times 1$-matrix $A$ is dus de kolomvector

$A=((c_{11},\ldots ,c_{1m}))=c^{T}$

Het beeld

$Lx=L(x_{1}v_{1}+\ldots +x_{n}v_{n})=\sum _{i=1}^{m}x_{i}L(v_{i})=$

$=\sum _{i=1}^{m}x_{i}\sum _{r=1}^{m}c_{ir}w_{r}=\sum _{r=1}^{m}\xi _{r}w_{r}$

dus

$\xi _{r}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}c_{ir}=\sum _{i=1}^{m}A_{ri}x_{i}$

Galoislichaam GF)25)

$L=\mathrm {GF} (25),\,K=\mathrm {GF} (5)$

Endomorfismen

Een endomorfisme $\varphi$ op de optelgroep van $L$ voldoet aan

$\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)$

dus

$\varphi (mx)=m\varphi (x)$

en

$\varphi (x)=\varphi (a+b{\sqrt {2}})=a\varphi (1)+b\varphi ({\sqrt {2}})=a\alpha ^{k}+b\alpha ^{m}$

Endomorfisme wordt bepaald door:

$\varphi (1)=\alpha ^{k}$

en

$\varphi ({\sqrt {2}})=\alpha ^{m}$

Er zijn dus 625 endomorfismen

In het bijzonder is dan:

$\varphi (0)=0$

$\varphi (m)=m\varphi (1)=m\alpha ^{k}$

dus

$\varphi (\alpha )=\varphi (2+{\sqrt {2}})=\varphi (2)+\varphi ({\sqrt {2}})=2\alpha ^{k}+\alpha ^{m}$

Frobenius:

$\varphi (x)=x^{5}$

dus

$\varphi (1)=1$

en

$\varphi ({\sqrt {2}})=4{\sqrt {2}}=\alpha ^{21}$

NB

$y^{24}=1$

$x^{24m+d}=(x^{m})^{24}x^{d}=x^{d};\,0\leq d<24$

$x^{d}=x^{5m+v}=x^{5m}x^{v}=(x^{m})^{5}x^{v}=(x^{m})^{*}x^{v};\,0\leq m,v<5$

bv

$x^{59}=x^{24\cdot 2+11}=(x^{2})^{24}x^{11}=x^{11};\,0\leq d<24$

$x^{11}=x^{5\cdot 2+1}=x^{5\cdot 2}x^{1}=(x^{2})^{5}x^{1}=(x^{2})^{*}x;\,0\leq m,v<5$

$(a+b{\sqrt {2}})^{5m}=(a+(-1)^{m}b{\sqrt {2}})$

$(a-b{\sqrt {2}})=(a+b{\sqrt {2}})^{*}$