Gebruiker:Madyno/Kladblok/Inclinometer

atoom (koolstofatoom)

atoomsoort = aanduiding voor atomen met hetzelfde atoomnummer (koolstof?)

element = (koolstof)

nuclide = aanduiding voor een type atoom van een bepaalde atoomsoort en een specifieke atoommassa

isotopen = nucliden van dezelfde atoomsoort maar met veschillende atoommassa

ook: een isotoop van koolstof is een van de nucliden van C

enkelvoudige stof = chemische stof van één atoomsoort; een van de verschijningsvormen van een element (diamant, grafiet)

samengestelde stof

zuivere stof = enkelvoudig of samengesteld

mengsel

metaal

Verwachting

Algemeen ook:

$\operatorname {E} (X)=\int x\,\mathrm {d} F_{X}(x)$

Eigenschap?

$X>0$, dan $\operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }(1-F(x))\,\mathrm {d} x$

$\int (1-F(x))\,\mathrm {d} x=x(1-F(x))|-\int _{0}^{\infty }x\mathrm {d} (1-F(x)=\int _{0}^{\infty }x\mathrm {d} F(x)$

Trafo

Theorie, praktische uitvoering vindt men op Wikipedia

Een transformator bestaat uit twee of meer wikkelingen die inductief gekoppeld zijn door wederzijdse magnetische flux. Een van deze wikkelingen noemt men de primaire wikkeling, de andere de secundaire. In principe wordt de primaire wikkeling aangesloten op een wisselspanning of wordt er een wisselstroom door gestuurd. De stroom door de primaire wikkeling produceert een alternerende flux worden, afhankelijk van de verandering van de primaire stroom en het aantal wikkelingen. De wederzijdse flux induceert in de secundaire wikkeling(en) een spanning waarvan de waarde afhangt van het aantal secundaire wikkelingen en de grootte van de wederzijdse flux.

De koppeling tussen de primaire en de secundaire spoel kan verlopen in lucht, maar is veel effectiever als de trafo een kern van ijzer of ander ferromagnetisch materiaal heeft, zodat het grootste deel van de flux door deze kern met hoge permeabiliteit verloopt.

Voor het beschrijven van een transformator gebruikt men de grootheden:

• $V_{p}$, de spanning over de klemmen van de primaire spoel
• $V_{s}$, de spanning over de klemmen van de secundaire spoel
• $I_{p}$, de stroom door de klemmen van de primaire spoel
• $I_{s}$, de stroom door de klemmen van de secundaire spoel
• $N_{p}$, het aantal wikkelingen van de primaire spoel
• $N_{s}$, het aantal wikkelingen van de secundaire spoel
• $\alpha =N_{p}/N_{s}$, de transformatieverhouding
• $R_{p}$, de weerstand van de primaire spoel
• $R_{s}$, de weerstand van de secundaire spoel
• $E_{p}$, de geïnduceerde spanning in de primaire spoel
• $E_{s}$, de geïnduceerde spanning in de secundaire spoel
• $\Phi$, de gemeenschappelijk magnetische flux in de beide spoelen
• $\Phi _{p}$, de magnetische flux in de primaire spoel
• $\Phi _{s}$, de magnetische flux in de secundaire spoel
• $\Phi _{{\text{lek}},p}=\Phi _{p}-\Phi$, de lekflux in de primaire spoel
• $\Phi _{{\text{lek}},s}=\Phi _{s}-\Phi$, de lekflux in de secundaire spoel
• $L_{p}$, de zelfinductie in de primaire spoel tgv de lekflux
• $L_{s}$, de zelfinductie in de secundaire spoel tgv de lekflux
• $R_{\text{kern}}$, parallel weerstand ter beschrijving van de "ijzerverliezen"
• $I_{\text{kern}}$, stroom door $R_{\text{kern}}$ ter beschrijving van de "ijzerverliezen"
• $L_{m}$, de zelfinductie in het primaire circuit tgv de gemeenschappelijke flux
• $I_{m}$, de stroom door $X_{m}$ voor de gemeenschappelijke flux

De ideale trafo

Een ideale transformator is een hypothetische vorm van een transformator waarin alle verliezen als gevolg van praktische beperkingen afwezig zijn. Deze verliezen zijn:

• koperverliezen, als gevolg van de weerstand van de draden van de spoelen
• ijzerverliezen, als gevolg van de wervelstromen in de kern
• lekverliezen, als gevolg van de onvolledige koppeling tussen de beide spoelen

Voor een ideale transformator geldt dus:

• $R_{p}=0$
• $R_{s}=0$
• $E_{p}=V_{p}$
• $E_{s}=V_{s}$
• $\Phi =\Phi _{p}=\Phi _{s}$
• $k=1$

$I_{p}$ stroom door primaire bij open secundaire

$I_{s}$ stroom door secundaire als gevolg van de secundaire belasting

$I_{1}=I_{p}+{\frac {N_{s}}{N_{p}}}I_{s}$ totale stroom door primaire

$N_{p}I_{1}=N_{p}I_{p}+N_{s}I_{s}$

$\Phi _{p}=N_{p}\Phi _{0}=L_{p}I_{p}+MI_{s}$

$\Phi _{s}=N_{s}\Phi _{0}=MI_{p}+L_{s}I_{s}$

${\frac {L_{s}}{L_{p}}}={\frac {N_{s}^{2}}{N_{p}^{2}}}$

$M={\sqrt {L_{p}L_{s}}}={\frac {N_{s}}{N_{p}}}L_{p}$

$\Phi _{0}=M\left({\frac {I_{p}}{N_{s}}}+{\frac {I_{s}}{N_{p}}}\right)={\frac {M}{N_{p}N_{s}}}(N_{p}I_{p}+N_{s}I_{s})=c(N_{p}I_{p}+N_{s}I_{s})=cN_{p}I_{1}={\frac {1}{N_{p}}}L_{p}I_{1}$

met

$V_{p}=L_{p}{\frac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} t}}$

Trafo belast net impedantie $Z=R+jX$

• $\Phi =L_{p}I_{p}=L_{s}I_{s}$

• ${\frac {I_{s}}{I_{p}}}={\frac {L_{p}}{L_{s}}}={\frac {N_{p}}{N_{s}}}=a$
• $Z{\dot {I_{s}}}=$

Uitgangspunten

1. het magnetische veld wordt veroorzaakt door de stroom door de windingen
2. veranderingen in de magnetische flux veroorzaken een spanning in de wikkelingen
3. hoe ontstaat de stroom door de primaire wikkeling? en dus de flux.
4. kan er een primaire stroom lopen bij open secundair circuit?
5. zonder secundaire wikkeling is de trafo een gewone zelfinductie?

Uit 5 zou volgen dat de trafo een impedantie $jL_{p}$ heeft, zodat er bij primaire spanning $V_{p}=V_{0}\cos(\omega t)$ een primaire stroom loopt $I_{p}=V_{p}/jL_{p}$. Maar dan zou er ook een secundaire stroom moeten lopen als er een onbelaste secundaire spoel is?

$U_{2}=aU_{1}$

???

$I_{s}=I_{2}+I_{m}$

$U_{p}=U_{1}+I_{p}(R_{p}+jwL_{\text{p}})$

$U_{2}=U_{s}+I_{s}(R_{s}+jwL_{\text{s}})$

$U_{2}=L_{m}{\frac {\mathrm {d} I_{m}}{\mathrm {d} t}}$

$U_{s}=I_{s}R_{b}$

Reële trafo

stroom door primair veroorzaakt magnetische flux daarvan een deel door secondaire koppelingsfactor k lek koperverliezen ijzerverliezen

Primaire stroom: $I_{p}$, secundaire $I_{s}$. Verband:??????

• koppelingsfactor k<1
• Rp koperverlies primair
• Rc ijzer- en magnetisatieverlies
• Rs koperverlies second1
• primair lekinductie Xp
• ssecundair lekinductie Xs
• magnetiseringsinductie Xm???

Fick

Een deeltje bevindt zich in $x$ op $t$ met snelheid in x-richting $V$ verdeeld volgens de dichtheid $f_{V}(v,x)$ (onafhankelijk van de tijd? afh van plaats?? wand??). Het vlak K met oppervlak $A$ bevindt zich in $0$

Flux is het aantal deeltjes die per seconde per m2 het vlak passeren

in volume $A\times [x,x+\Delta x]$ bevinden zich ongeveer $N(x)=C(x)A\Delta x$ deeltjes

In tijd $\Delta t$ passeert een deeltje het vlak als

links van K:

$V\Delta t>|x|$

aantal van links vanaf $[x,x+\Delta x]$

$N(x)P(V\Delta t>|x|)=C(x)A\,\Delta x\int _{|x|/\Delta t}^{\infty }f_{V}(v,x)\mathrm {d} v=A\,C(x)R(|x|/\Delta t,x)\Delta x$

totaal van links

$A\int _{-\infty }^{0}C(x)R(|x|/\Delta t,x)\mathrm {d} x=A\int _{0}^{\infty }C(-x)R(x/\Delta t,-x)\mathrm {d} x$

rechts van K:

$-V\Delta t>x$

aantal van rechts vanaf $[x,x+\Delta x]$

$C(x)A\Delta x\int _{-\infty }^{-x/\Delta t}f_{V}(v,x)\mathrm {d} v$

Vanwege symmetrie $f_{V}(-v,x)=f_{V}(v,x)$

$=C(x)A\Delta x\int _{\infty }^{x/\Delta t}f_{V}(-w,x)\mathrm {d} (-w)=C(x)A\Delta x\int _{x/\Delta t}^{\infty }f_{V}(w,x)\mathrm {d} w=A\,C(x)R(x/\Delta t,x)\Delta x$

totaal van rechts

$A\int _{0}^{\infty }C(x)R(x/\Delta t,x)\mathrm {d} x$

verschil:

$A\int _{0}^{\infty }C(-x)R(x/\Delta t,-x)\mathrm {d} x-A\int _{0}^{\infty }C(x)R(x/\Delta t,x)\mathrm {d} x$

??$=A\int _{0}^{\infty }C(-v\Delta t)R(v,-v\Delta t)\mathrm {d} (v\Delta t)-A\int _{0}^{\infty }C(v\Delta t)R(v,v\Delta t)\mathrm {d} (v\Delta t)$

flux

$J(0)=\lim {\frac {1}{A\Delta t}}\left({\text{verschil}}\right)=\lim {\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{\infty }C(-x)R(x/\Delta t,-x)-C(x)R(x/\Delta t,x)\mathrm {d} x=$

$=\lim {\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{\infty }C(-x)R(x/\Delta t,-x)-C(x)R(x/\Delta t,x)\mathrm {d} x=$

=======

Als R niet afh van x:

$J(x_{K})=\lim \int _{0}^{\infty }{\big (}C(x_{K}-u\Delta t)-C(x_{K}+u\Delta t){\big )}R(u)\mathrm {d} u$

$J(x_{K})=\lim \int _{0}^{\infty }{\frac {C(x_{K}-u\Delta t)-C(x_{K}+u\Delta t)}{2u\Delta t}}2u\Delta tR(u)\mathrm {d} u$

$J(x_{K})=-2C'(x_{K})\lim _{\Delta t\to 0}\Delta t\int _{0}^{\infty }uR(u,u\Delta t)\mathrm {d} u$

$\int _{0}^{\infty }uR(u)\mathrm {d} u=\int _{0}^{\infty }u\int _{u}^{\infty }f(y)\mathrm {d} y\mathrm {d} u=$

$=\int _{0}^{\infty }f(y)\int _{0}^{y}u\mathrm {d} u\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}y^{2}f(y)\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}\operatorname {var} (V)$

Als R wel afh van x:

$J(x_{K})=\lim \int _{0}^{\infty }{\frac {C(x_{K}-u\Delta t)R(u,x_{K}-u\Delta t)-C(x_{K}+u\Delta t)R(u,x_{K}+u\Delta t)}{2u\Delta t}}2u\Delta t\mathrm {d} u$

$J(x_{K})=\lim \int _{0}^{\infty }{\frac {\partial [C(x)R(u,x)]}{\partial x}}\left|_{x=x_{K}}\right.2u\Delta t\mathrm {d} u$

Simplificatie

Helft deeltjes heeft snelheid $v$, andere helft $-v$.

In tijd $\Delta t$ passeert dan helft deeltjes vlak K met oppervlakte A als

$v\Delta t>x-X(t)$,

dus

$x-X(t)<v\Delta t$

of

$X(t)-x<v\Delta t$

dat zijn de halve aantallen van de deeltjes in volume tussen $x-v\Delta t,\ x$ en in volume tussen $x,\ x+v\Delta t$ dus naar rechts

$N_{R}\approx {\tfrac {1}{2}}Av\Delta tC(x)$

en naar links

$N_{L}\approx {\tfrac {1}{2}}Av\Delta tC(x+v\Delta t)$

netto over A in tijd $\Delta t$

$N_{R}-N_{L}\approx {\tfrac {1}{2}}Av\Delta t\,(C(x)-C(x+v\Delta t))$

flux

$J(x)\approx {\frac {N_{R}-N_{L}}{A\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}v\,(C(x)-C(x+v\Delta t))$

???

$J(x)=\lim _{\Delta t\to 0}{\tfrac {1}{2}}v\,(C(x)-C(x+v\Delta t))=0$

$J(x)\approx {\frac {N_{R}-N_{L}}{A\Delta t}}=-{\tfrac {1}{2}}v^{2}\Delta t\,C'(x)$

Random walk

Deeltjes in equidistante vlakken op afstand $h$. In tijd $\Delta t$ springt deelje naar naburig vlak. Helft deeltjes heeft snelheid $v=h/\Delta t$, andere helft $-v$. Vlak K in $x+h/2$ In tijd $\Delta t$ passeert dan helft deeltjes uit vlak in $x$ het vlak K naar rechts en helft deeltjes uit vlak in $x+h$ naar links

dus naar rechts

$N_{R}\approx {\tfrac {1}{2}}AhC(x)$

en naar links

$N_{L}\approx {\tfrac {1}{2}}AhC(x+h)$

netto over A in tijd $\Delta t$

$N_{R}-N_{L}\approx {\tfrac {1}{2}}Ah\,(C(x)-C(x+h))$

flux

$J(x)\approx {\frac {N_{R}-N_{L}}{A\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}h{\frac {C(x)-C(x+v\Delta t)}{\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}v(C(x)-C(x+v\Delta t))$

idem als boven

Dit kun je wel schrijven als

$J(x)=-{\tfrac {1}{2}}{\frac {h^{2}}{\Delta t}}C'(x)$

maar wat helpt dat?

$[J]=mol/m^{2}/s=m^{2}/s\ mol/m^{3}/m$ oke

Stationaire situatie Aantallen deeltjes aan weerszijden van vlak in $x$, tussen $x-\Delta x,x$ en $x,x+\Delta x$:

$N_{L}(x,\Delta x)\approx A\Delta xC(x-{\tfrac {1}{2}}\Delta x)$

$N_{R}(x,\Delta x)\approx A\Delta xC(x+{\tfrac {1}{2}}\Delta x)$

De helft van deze aantallen deeltjes passeert het vlak in tijd $\Delta t$, als $\Delta x=f\Delta t$, waarin $f$ de vrij weglengte is. d.w.z de gemiddelde snelheid langs de x-as

verwachte aantallen

$n_{L}(\Delta t)={\tfrac {1}{2}}Af\Delta tC(x-{\tfrac {1}{2}}f\Delta t)$

$n_{R}(\Delta t)={\tfrac {1}{2}}Af\Delta tC(x+{\tfrac {1}{2}}f\Delta t)$

flux

$J(x)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {n_{L}(\Delta t)-n_{R}(\Delta t)}{A\Delta t}}$???

$J(x)={\tfrac {1}{2}}f\cdot {\big (}C(x-{\tfrac {1}{2}}f\Delta t)-C(x+{\tfrac {1}{2}}f\Delta t){\big )}\to 0$???

$J(x)={\tfrac {1}{2}}f^{2}\Delta t{\frac {C(x-{\tfrac {1}{2}}f\Delta t)-C(x+{\tfrac {1}{2}}f\Delta t)}{f\Delta t}}$

$f={\frac {\Delta X(t)}{\Delta t}}$

$J(x)=-{\tfrac {1}{2}}f\Delta X(t)\ C'(x)$????

Oudenaarde van het MIT zegt:

$f^{2}\Delta t={\frac {(\Delta x)^{2}}{\Delta t}}\to constant$

random walk

$X_{n}$ positie na n stappen ter lengte $h$

$X_{n}=X_{n-1}\pm h$

$\mathrm {var} X_{n}=\mathrm {var} X_{n-1}+h^{2}=nh^{2}$

snelheid:

$v={\frac {h}{\tau }}$

tijd voor 1 stap

$\tau ={\frac {h}{v}}$

tijd voor n stappen

$n\tau ={\frac {nh}{v}}$

voor

$h=\Delta x$, is $\tau =\Delta t$, dus

$\mathrm {var} X_{n}=n(\Delta x)^{2}=nv\tau \Delta x$?????

Elektrische flux

Flux door A:

$\Phi (A)=\iint _{A}E\cdot \mathrm {d} A$ (Vm)

gemiddelde dichtheid

$\Phi (A)/A={\frac {1}{A}}\iint _{A}E\cdot \mathrm {d} A$ (V/m)

Elektrische verplaatsing in lineair medium

$D=\varepsilon E$

[E] = N/C = V/m

halve bol

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,-1<x<1,\ 0<y<{\sqrt {1-x^{2}}},\ z>0$

dan

$(x+dx)^{2}+y^{2}+(z+dz)^{2}=1$

$xdx+dx^{2}+dz^{2}+zdz=0$

$xdx\approx -zdz$

$h^{2}=dx^{2}+dz^{2}=dx^{2}(1+x^{2}/z^{2})$

$k^{2}=dy^{2}+dz^{2}=dy^{2}(1+y^{2}/z^{2})$

$hk=dxdy/z^{2}{\sqrt {(x^{2}+z^{2})(y^{2}+z^{2})}}=dxdy{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}{\sqrt {(1-y^{2})(1-x^{2})}}$

$\iint {\frac {\sqrt {(1-y^{2})(1-x^{2})}}{1-x^{2}-y^{2}}}dxdy$

$\iint {\sqrt {\frac {(1-y^{2})(1-x^{2})}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}}dxdy$

$\iint {\sqrt {\frac {1}{(1-{\frac {x^{2}}{1-y^{2}}})(1-{\frac {y^{2}}{1-x^{2}}})}}}dxdy$

$x=\sin \theta \cos \phi =st\cdot cp$

$y=\sin \theta \sin \phi =st\cdot sp$

$z=\cos \theta =ct$

$\iint {\sqrt {\frac {1}{(1-{\frac {st^{2}cp^{2}}{1-st^{2}sp^{2}}})(1-{\frac {st^{2}sp^{2}}{1-st^{2}cp^{2}}})}}}dxdy$

Hyperbool

Is een hyperbool altijd symmetrisch? Voorbeeld: snijdt een kegel met xy-vlak en beschrijf de kegelsnede in het xy-vlak. Neem een kegel met top in (0,0,1) en als as de lijn door (0,0,1) en (0,-3,0). Voor de lijn geldt

$x=0,z=1+{\tfrac {1}{3}}y$

De punten $(x,y,z)$ van de kegel liggen op een cirkel loodrecht op de as, met middelpunt $m$ op de as:

$m(y)=(0,y,1+{\tfrac {1}{3}}y),\quad y=3(z-1)$

en straal evenredig met afstand tussen middelpunt en top. Die afstand is:

${\sqrt {y^{2}+(y/3)^{2}}}={\sqrt {10}}y/3$

Neem

$r(y)=y$

De punten voldoen aan:

$(x,y,z)=\lambda (0,3,1)+(p,q,r)$

met

$(p,q,r)\cdot (0,3,1)=0$ (loodrecht op de as)

dus

$3q+r=0$ dwz $r=-3q$,

zodat

$(x,y,z)=\lambda (0,3,1)+(p,q,-3q)$

of

$z=10\lambda -3y$

Snijden met xy-vlak

$z=0$, dus

$10\lambda =3y$

Op cirkel:

$|(x,y,0)-m|^{2}=r^{2}$,

dus

$x^{2}+(1+{\tfrac {1}{3}}y)^{2}=y^{2}$,

$x^{2}+1-{\tfrac {8}{9}}y^{2}+{\tfrac {2}{3}}y=0$,

$x=\pm {\sqrt {{\tfrac {8}{9}}y^{2}-{\tfrac {2}{3}}y-1}}$,

Dus symmetrisch

${\tfrac {9}{8}}x^{2}=(y-{\tfrac {3}{8}})^{2}-{\tfrac {5}{4}}$

Algemeen

Kegel kegel met top in $(t_{1},t_{2},t_{3})$ en als as de lijn door $(t_{1},t_{2},t_{3})$ en $(a_{1},a_{2},a_{3})$. Voor een punt $(p_{1},p_{2},p_{3})$op de lijn geldt

$(p_{1},p_{2},p_{3})=(t_{1},t_{2},t_{3})+\lambda (v_{1},v_{2},v_{3})$

De punten $(x,y,z)$ van de kegel liggen op een cirkel loodrecht op de as, met middelpunt $m$ op de as:

$m=(t_{1},t_{2},t_{3})+\lambda _{m}(v_{1},v_{2},v_{3})$

en straal evenredig met afstand tussen middelpunt en top. Die afstand is:

$d_{m}=|\lambda _{m}|\,\|(v_{1},v_{2},v_{3})\|=|\lambda _{m}|{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}=$

Neem

$r=\rho \,d_{m}$

De punten liggen in een vlak door $m$ loodrecht op de as:

$(x,y,z)=m+(q_{1},q_{2},q_{3})$

met

$(q_{1},q_{2},q_{3})\cdot (v_{1},v_{2},v_{3})=0$ (loodrecht op de as)

dus

$q_{1}v_{1}+q_{2}v_{2}+q_{3}v_{3}=0$

Snijden met xy-vlak

$z=0$

Op cirkel:

$\|(x,y,0)-m\|=r=\rho \,d_{m}$,

dus

$\|(x,y,0)-(t_{1},t_{2},t_{3})-\lambda _{m}(v_{1},v_{2},v_{3})\|=\rho \,|\lambda _{m}|{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}$

$\rho$ is parameter????

Eulerhoeken

Conventies:

1. Om de assen van het lichaamseigen stelsel XYZ
2. Om de assen van het vaste assenstelsel xyz

Verder is de vraag in welk stelel de vectoren beschreven worden.

1. xyz
2. XYZ

De rotatie $T=CBA$ is steeds

1. $A$: om z over $\alpha$
2. $B$: om x'=N over $\beta$
3. $C$: om z"=Z over $\gamma$

Dit is equivalent, d.w.z. dezelfde rotatie, met $T={\tilde {A}}{\tilde {B}}{\tilde {C}}$, waarin

1. ${\tilde {C}}$: om z over $\gamma$
2. ${\tilde {B}}$: om x over $\beta$
3. ${\tilde {A}}$: om z over $\alpha$

Beschreven in het vaste xyz-stelsel zijn de bjbehorende matrices

Standaard rotaties

$M_{z}(\alpha )={\begin{bmatrix}c_{1}&-s_{1}&0\\s_{1}&c_{1}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$, $M_{x}(\beta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{2}&-s_{2}\\0&s_{2}&c_{2}\end{bmatrix}}$ en $M_{z}(\gamma )={\begin{bmatrix}c_{3}&-s_{3}&0\\s_{3}&c_{3}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Algemeen

$M_{as}^{-1}(\theta )=M_{as}^{*}(\theta )=M_{as}(-\theta )$

${\tilde {A}}=M_{z}(\alpha )$

${\tilde {B}}=M_{x}(\beta )$

${\tilde {C}}=M_{z}(\gamma )$

$T={\tilde {A}}{\tilde {B}}{\tilde {C}}=M_{z}(\alpha )M_{x}(\beta )M_{z}(\gamma )$

$T^{*}=M_{z}(-\gamma )M_{x}(-\beta )M_{z}(-\alpha )$

Afspraak is dat om de z-as over 30 grd draaien, in tegenwijzerzin gebeurt.

Dus (1,0,0) gaat naar (1/V2, 1/2, 0

Mathworld berekent correct, met andere ABCD als boven:

$A=BCD=M_{z}(-\psi )M_{x}(-\theta )M_{z}(-\phi )=M_{z}(-\gamma )M_{x}(-\beta )M_{z}(-\alpha )=T^{*}$

Alias- en alibitransformatie

Een landmeter in Parijs meet de Eiffeltoren op. Hij gebruikt een xyz-assenstelsel met de oorsprong midden op Place de l'Etoile, het xy-vlak horizontaal, de x-as noord, de y-as west en de z-as verticaal. Een landmeter in Sydney meet ook de Eiffeltoren op, in zijn eigen XYZ-assenstelsel met de oorsprong preies in het centrum van Sydney, het XY-vlak horizontaal, de X-as oost, de Y-as noord en de Z-as verticaal. De Eiffeltoren, het object, heeft twee stel coördinaten (aliassen): een t.o.v. het xyz-stelsel en een t.o.v. het XYZ-stelsel; een aliastransformatie rekent xyz om in XYZ. De man uit Parijs meet ook z'n auto, die hij zo gezet heeft dat lengteas door x-as, breedteas door y-as. Hij gaat ermee naar Sydney en zet de auto daar zo neer dat lengteas de X-as is, etc. De auto heeft in beide stelsels dezelfde coördinaten, maar is wel ergens anders (alibi). De coördinaten in Sydney, kunnen worden uitgedrukt in de Parijse door een alibitransformatie. In beide gevallen gaat het erom de assen van het ene systeem uit te drukken in het andere.

De bovengenoemde stelsels hebben geen gemeenschappelijke oorsprong. Daartussen is een translatie, die voor de verdere behandeling van weinig belang is.

Bij de alibitransformatie gaat P over in P'; de assen blijven gelijk. Bij de aliastransformatie blijft P hetzelfde, maar worden de assen verplaatst

Rotation considered as a passive (alias) or active (alibi) transformation

Translation and rotation as passive (alias) or active (alibi) transformations

Alias- en alibitransformatie

In de (driedimensionale) (euclidische) ruimte wordt het xyz-assenstelsel gevormd door de onderling loodrechte x-, y- en z-as die repectievelijk bepaald worden door de eenheidsvectoren

$e_{x}=(1,0,0),e_{y}=(0,1,0),e_{z}=(0,0,1)$

In praktische toepassingen bepalen de x- en y-as een horizontaal grondvlak.

Een ander stelsel, het XYZ-stelsel, wordt opgevat als een verplaatsing van het xyz-stelsel. Er wordt afgezien van een eventuele translatie van de oorsprong, zodat de verplaatsing neerkomt op een aantal rotaties. Het XYZ-stelsel wordt gevormd door het orthonormale (onderling loodrecht en van de lengte 1) stelsel basisvectoren:

$e_{X}=Be_{x}$

$e_{Y}=Be_{y}$

$e_{Z}=Be_{x}$

die respectievelijk de X-, Y- en Z-as bepalen en dezelfde oorsprong hebben als het xyz-stelsel. Deze vectoren kunnen opgevat worden als eenheidsvectoren in het XYZ-stelsel.

De matrix B "heet" basistransformatie.

De matrix $B^{*}$ is de getransponeerde van de matrix, die de basisvectoren in het XYZ-stelsel als rijen heeft.

De matrix "heet" coördinatentransformatie.

Het punt $p=(p_{x},p_{y},p_{z})$ in het xyz-stelsel heeft in het XYZ-stelsel de coördinaten $p=p_{X}e_{X}+p_{Y}e_{Y}+p_{Z}e_{Z}$. Het geroteerde punt $P=Bp=(P_{x},P_{y},P_{z})$ in het xyz-stelsel heeft in het XYZ-stelsel de coördinaten $P=P_{X}e_{X}+P_{Y}e_{Y}+P_{Z}e_{Z}$.

De overgang $p$ naar $P=Bp$ is een actieve transfromatie. Er geldt in het xyz-stelsel:

$P=(P_{x},P_{y},P_{z})=Bp=B(p_{x},p_{y},p_{z})$

en ook in het XYZ-stelsel:

$P=P_{X}e_{X}+P_{Y}e_{Y}+P_{Z}e_{Z}=[P_{X},P_{Y},P_{Z}]=B(p_{X}e_{X}+p_{Y}e_{Y}+p_{Z}e_{Z})=B[p_{X},p_{Y},p_{Z}]$

De overgang van de coördinaten $p=(p_{x},p_{y},p_{z})$ in het xyz-stelsel naar de coördinaten $p=[p_{X},p_{Y},p_{Z}]=p_{X}e_{X}+p_{Y}e_{Y}+p_{Z}e_{Z}$ in het XYZ-stelsel is een passieve transfromatie. Er geldt:

$p=(p_{x},p_{y},p_{z})=[p_{X},p_{Y},p_{Z}]=p_{X}e_{X}+p_{Y}e_{Y}+p_{Z}e_{Z}=p_{X}Be_{x}+p_{Y}Be_{y}+p_{Z}Be_{z}=$

$=B(p_{X}e_{x}+p_{Y}e_{y}+p_{Z}e_{z})=B(p_{X},p_{Y},p_{Z})$

dus

$B^{*}(p_{x},p_{y},p_{z})=(p_{X},p_{Y},p_{Z})$

Het xyz-stelsel wordt gedraaid naar het XYZ-stelsel dor de rotatie $R$. Dwz.

$R(1,0,0)=Re_{x}=e_{X}=[1,0,0]$

$R(0,1,0)=Re_{y}=e_{Y}=[0,1,0]$

$R(0,0,1)=Re_{z}=e_{Z}=[0,0,1]$

$p=(p_{x},p_{y},p_{z})=[p_{X},p_{Y},p_{Z}]$

$P=(P_{x},P_{y},P_{z})=[P_{X},P_{Y},P_{Z}]$

$P=Rp$

Actief

$R(p_{x},p_{y},p_{z})=(P_{x},P_{y},P_{z})$

Passief, de basis wordt actief met $R$ gedraaid:

$R^{*}(p_{x},p_{y},p_{z})=(p_{X},p_{Y},p_{Z})$

dus ook

$R^{*}(P_{x},P_{y},P_{z})=(P_{X},P_{Y},P_{Z})$

Als een punt passief gedraaid wordt met $R$, wordt het xyz-stelsel tegengesteld gedraaid, actief met $R^{*}$. [Is dit juist???]

Alibitransformatie

Ook actieve transformatie. Een punt $p=(p_{x},p_{y},p_{z})$ in het xyz-stelsel wordt afgebeeld op het punt

$P=(P_{x},P_{y},P_{z})=B_{a}p=B_{a}(p_{x},p_{y},p_{z})$

Er geldt:

$P=B_{a}(p_{x},p_{y},p_{z})=p_{x}B_{a}e_{x}+p_{y}B_{a}e_{y}+p_{z}B_{a}e_{z}=p_{x}e_{X}+p_{y}e_{Y}+p_{z}e_{Z}$

en heeft in het XYZ-stelsel dezelfde coordinaten als in het xyz-stelsel.

$p=p_{x}e_{x}+p_{y}e_{y}+p_{z}e_{z}$

$P=p_{x}e_{X}+p_{y}e_{Y}+p_{z}e_{Z}$

en

$(P_{x},P_{y},P_{z})=B_{a}(p_{x},p_{y},p_{z})$

${\begin{bmatrix}P_{x}\\P_{y}\\P_{z}\end{bmatrix}}=B_{a}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}$

De matrix $B_{a}$ beschrijft de actieve transformatie.

"Een geroteerd punt in hetzelfde stelsel".

Aliastransformatie

Ook passieve transformatie geheten. Het xyz-stelsel wordt door $B_{p}$ overgevoerd in het XYZ-stelsel. Een punt $p=(p_{x},p_{y},p_{z})$ in het xyz-stelsel wordt in het XYZ-stelsel gegeven door

$p=p_{X}e_{X}+p_{Y}e_{Y}+p_{Z}e_{Z}$

dus

$p=(p_{x},p_{y},p_{z})=$

$=p_{X}e_{X}+p_{Y}e_{Y}+p_{Z}e_{Z}=p_{X}B_{p}e_{x}+p_{Y}B_{p}e_{y}+p_{Z}B_{p}e_{z}=$

$=B_{p}(p_{X}e_{x}+p_{Y}e_{y}+p_{Z}e_{z})=B_{p}(p_{X},p_{Y},p_{Z})$

${\begin{bmatrix}p_{X}\\p_{Y}\\p_{Z}\end{bmatrix}}=B_{p}^{*}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}$

De matrix $B_{p}^{*}$ beschrijft de passieve transformatie, maar wordt $B_{p}^{*}$ of $B_{p}$ zelf als de matrix van de passieve transformatie opgevat?

Aangezien $B_{p}^{*}$ het put $p$ transformeert, zou ik zeggen dat $B_{p}^{*}$ de matrix van de passieve transformatie is.

"Hetzelfde punt in een geroteerd stelsel"

De verwarring ontstaat doordat niet duidelijk is wat een passieve rotatie in een bepaalde richting betekent. Mogelijkheden:

1. de eenheidsvectorten worden in de tegenovergestelde richting geroteerd
2. de eenheidsvectorten worden in de genoemde richting geroteerd

Voorbeeld

Het tweedimensionale vlak wordt beschreven door punten $P=(x,y)$ met kentallen $x,y$. Om het verschil tussen kentallen en coördinaten te benadrukken wordt een punt $P$ met de coördinaten $p,q$ tov de basis $b_{1},b_{2}$ weergegeven als

$P=(x,y)=(p,q)_{b}=pb_{1}+qb_{2}$

Met $b_{i}=(b_{i1},b_{i2})$ geldt dus:

$x=pb_{11}+qb_{21},\ y=pb_{12}+qb_{22}$

In matrixnotatie:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{21}\\b_{12}&b_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}}=B^{*}{\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=BP$

In 2 dimensies: het xy-stelsel is

$e_{x}=(1,0),\ e_{y}=(0,1)$.

Een XY-stelsel door:

$E_{X}=b_{1}=({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},{\tfrac {1}{2}}),\ E_{Y}=b_{2}=(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}})$

Een punt $P=(1,1)$ wordt door de alibitrafo afgebeeld op het punt $P'=(1,1)_{XY}$ met coördinaten 1 en 1 tov $E_{X}$ en $E_{Y}$. Het heeft de kentallen:

$P'=(1,1)_{XY}=E_{X}+E_{Y}=(-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}})$

In matrixnotatie, met

$B^{*}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\tfrac {1}{2}}\\{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(30^{o})&-\sin(30^{o})\\\sin(30^{o})&\cos(30^{o})\end{bmatrix}}$

$P'=B^{*}(1,1)$

Door de aliastrafo

$B={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(30^{o})&\sin(30^{o})\\-\sin(30^{o})&\cos(30^{o})\end{bmatrix}}$

worden de basisvectoren van een X'Y'-stelsel bepaald:

$E_{X'}=B(1,0)=({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},-{\tfrac {1}{2}}),\ E_{Y'}=B(0,1)=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}})$

De coördinaten $X',Y'$ van $P=(1,1)=(X',Y')_{X'Y'}=X'E_{X'}+Y'E_{Y'}=X'B(1,0)+Y'B(0,1)=B(X',Y')$ t.o.v een X'Y'-stelsel zijn dus bepaald door:

$B(X',Y')=(1,1)$

waaruit:

$(X',Y')=B^{*}(1,1)=(-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}})$

Dus:

$X'=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$

$Y'={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$

Dit zijn dezelfde getallen als de kentallen van het punt $P'$ bij de alibitrafo.

Duits

Gute Arbeit, Digamma!! Ich werde mich noch bemühen sämtliche Sachen zu überprüfen. Auf dem ersen lick finde ich es nur Schade dass sowohl bei einer aktiven Drehug als bei einer passiven Drehung die Notation (X,Y,Z) benutzt wird, die aber unterschiedene Bedeutung hat. Ich würde sagen: aktiv $p=(p_{x},p_{y},p_{z})$ (oder $p=(x_{p},y_{p},z_{p})$) wird mit der Matrix $R$ gedreht, zu $P=(P_{x},P_{y},P_{z})=Rp=R(p_{x},p_{y},p_{z})$; passiv $p=(p_{x},p_{y},p_{z})$ bekommt mit der Matrix ${\overline {R}}$ neue Koordinate $P=(p_{X},p_{Y},p_{Z})={\overline {R}}p={\overline {R}}(p_{x},p_{y},p_{z})$;

aktiv

$e_{x}=(1,0,0);E_{x}=Re_{x}=R(1,0,0)$

$p=p_{x}e_{x}+...=(p_{x},p_{y},p_{z})$

$P=(P_{x},P_{y},P_{z})=Rp=R(p_{x},p_{y},p_{z})=p_{x}Re_{x}+...$

$(P_{x},P_{y},P_{z})=R(p_{x},p_{y},p_{z})$

passiv

$e_{x}=(1,0,0);e_{X}=R^{*}e_{x}=R^{*}(1,0,0)$

$p=p_{x}e_{x}+...=(p_{x},p_{y},p_{z})=p_{X}e_{X}+...=p_{X}R^{*}e_{x}+...=R^{*}(p_{X},p_{Y},p_{Z})$

$(p_{x},p_{y},p_{z})=R^{*}(p_{X},p_{Y},p_{Z})$

$R(p_{x},p_{y},p_{z})=(p_{X},p_{Y},p_{Z})$

Intermezzo

Bij een schip spreekt men van

roll: slingeren om de lengteas
pitch: stampen om breedte-as
yaw: gieren, koersverandering om verticale as

Deze terminologie wordt ook gebruikt om de positie van het frame met de inclinometer aan te geven.

Het frame met de inclinometer is een "schip"

lengteas = X-as breedteas = Y-as verticale as = Z-as

hoeken t.o.v. "vaste" xyz-stelsel. Hoe??

Over rotaties.

xyz is vast stelsel; XYZ aan inclinometer. Rotaties in XYZ om de assen.

Om de Y-as: hoek pitch $\pi$; de x-, y- en z-as worden in het XYZ-stelsel:

${\begin{bmatrix}c_{2}&0&-s_{2}\\0&1&0\\s_{2}&0&c_{2}\end{bmatrix}}$

Vervolgens om de X-as: hoek roll $\rho$; de x-, y- en z-as worden nu in het XYZ-stelsel verder afgebeeld op:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{1}&-s_{1}\\0&s_{1}&c_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{2}&0&-s_{2}\\0&1&0\\s_{2}&0&c_{2}\end{bmatrix}}$

etc.

In het eigen stelsel kunnen de rotatiematrices met elkaar vermenigvuldigd worden.

Het resultaat geeft het xyz-stelsel tov de inclinometer.

Toepassing

Voor een punt $P=(x,y,z)$ dat afgebeeld wordt op het punt $P'=(x',y',z')$ met de alibitransformatie $B$, geldt:

$P'=(x',y',z')=xb_{1}+yb_{2}+zb_{3}=B(x,y,z)$,

waarin de matrix $B$ als kolommen de beelden $b_{1}=Be_{x},b_{2}=Be_{y},b_{3}=Be_{z}$ van de basisvectoren $e_{x},e_{y},e_{z}$ heeft.

Alternatief kunnen de coordinaten $x',y',z'$ bepaald worden met de aliastransformatie die $P$ beschrijft t.o.v de basis $(b_{1},b_{2},b_{3})$:

$P=x'b'_{1}+y'b'_{2}+z'b'_{3}=B'(x',y',z')$

Er geldt:

$B'=B^{*}=B^{-1}$

IJking inclinomter

Algemeen: inclinometer meet helling. Standaard in één richting. Twee-assige inclinometers meten de tilt, de afwijking van het grondvlak van de inclinometer van de horizontale stand. De hoek tussen z- en Z-as (eulerhoek $\beta$) bepaalt de stand van het XY-vlak, maar nog niet de X-as. x loodrecht z-as, X loodrecht Z-as. Snijlijn N van xy met XY door O loodrecht z- en Z-as.

Als N bekend is en beta = hoek zOZ is de tilt bekend, dwz de stand van XOY tov xOy. N is gegeven door de eulerhoek $\alpha$ tussen x-as en N.

Onbekend is nog de eulerhoek gamma tusssem N en X-as

Rotatie T1 om X-as, rotatie T2 om Y-as; T2T1 is ongelijk aan T1T2. Want na T1 ligt Y in yz-vlak en blijft daar bij T2, maar X gaat buiten xz-vlak. Maar na T2 ligt X in xz-vlak en blijft daar bij T1, en gaat Y buiten yz-vlak.

Kennelijk is de standaard: yaw, pitch en roll. De rotaties toegepast in deze volgorde.

Van xyz naar XYZ:

rotatie om Z-as over yaw

rotatie om Y-as over pitch

rotatie om X-as over roll

in deze volgorde

Of (eenduidig): de inclinometer zou ook de hoeken $\pi$ tussen X-as en xy-vlak, en $\rho$ tussen Y-as en xy-vlak kunnen geven.

$\sin \pi =\sin \beta \sin \gamma$

$\sin \rho =\sin \beta \cos \gamma$

dan

$\tan \gamma ={\frac {\sin \pi }{\sin \rho }}$

$\sin ^{2}\beta =\sin ^{2}\pi +\sin ^{2}\rho$

---

Hoeken: pitch (stampen), roll (slingeren) en yaw (gieren)

voorwerp met assen X, Y en Z; vast aardegebonden stelsel: x, y en z; oorsprong gemeenschappelijk. X naar voren, Y opzij en Z omhoog. pitch: pi om Y roll: rho om X yaw: yps om Z

1. Op "vloer" is een aantal punten $P_{i}$ uitgezet

2. De $P_{i}$ worden met een total station nauwkeurig gemeten; het total station geeft de coördinaten

$P_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$

van de $P_{i}$ in een aardgebonden xyz-stelsel met z-as verticaal.

3. Een inclinometer wordt op een frame geplaatst, dat het XYZ-stelsel (F) is. De X-as is de as van de inclinometer. Het grondvlak VI van de inclinometer is (//) het XY-vlak. Op het frame zijn punten $F_{0}=O,F_{1},F_{2},\ldots ,F_{n}$ aangegeven. De punten $F_{0}$ en $F_{1}$ bepalen de X-as

$F_{0}=O_{F}=(0,0,0)_{F}$

$F_{1}=(F_{11},0,0)_{F}$

De andere punten hebben de F-coördinaten

$F_{n}=(F_{n1},F_{n2},F_{n3})_{F}$

Daarmee zijn het XY-vlak en de as X-as;, en dus Y-as en Z-as bekend.

Stel de inclinometer horizontaal. Dan:

$F_{0}=O_{F}=(0,0,0)_{F}=(0,0,0)$

$F_{1}=(F_{11},0,0)_{F}=(F_{11},0,0)$

en

$F_{n}=(F_{n1},F_{n2},F_{n3})_{F}=(F_{n1},F_{n2},F_{n3})$

4. De inclinometer (met frame) wordt tussen de punten $P_{i}$ geplaatst en horizontaal gesteld. daarna wordt met fotogrammetrie de relatie tussen de $F_{k}$ en de $P_{i}$ vastgesteld, en daarmme de $F_{ik}$

5. In gebruik: De inclinometer geeft de hoeken $\rho$, 'roll', tussen z'n Y-as en de y-as in de horizontale stand en $\pi$, 'pitch', tussen z'n X-as en de x-as in horizontale stand. Daaruit laat zich de stand van z'n grondvlak t.o.v het horizontale vlak afleiden.

Voorbeeld

$F_{0}=O_{F}=(0,0,0)_{F}$

$F_{1}=(2,0,0)_{F}$

$F_{2}=(1,1,1)_{F}$

$F_{3}=(0,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}})_{F}$

$F_{4}=(-1,{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {4}{3}})_{F}$

Vlak VI gaat door:

$F_{0}=O_{F}=(0,0,0)_{F}$

$F_{1}^{*}=(1,0,0)_{F}={\tfrac {1}{2}}F_{1}$

$F_{2}^{*}=(0,1,0)_{F}=4\cdot (F_{2}-{\tfrac {1}{2}}F_{1}-{\tfrac {3}{2}}F_{3})$

Inclinometer geeft aan:

$\mathrm {pitch} =\pi =0{,}032\ {\text{rad}}$

$\mathrm {roll} =\rho =0{,}024\ {\text{rad}}$

D.w.z.

de hoek tussen de X-as en de x-as is $0{,}032\ {\text{rad}}$

de hoek tussen de Y-as en de y-as is $0{,}024\ {\text{rad}}$

Eulerhoeken

Verband met inclinometer

===============

PARKER Maritime: Gang van zaken

6. Op zeebodem ligt de inclinometer en geeft de stand aan door de hoeken pi="pitch" en 'rho="roll". Deze hebben betrekking op de as F0F1*. (Is het vlak VI niet vervormd?)

7. Nu kan met pi en rho een horizontaal vlak H bepaald worden.

8. De hoek die de flens met H maakt wordt bepaald.

9. Er is ook een horizontaal vlak HD, bepaald met de dieptesensors. Dit is over grotere afstanden nauwkeuriger dan H.

10 De hoek om de z-as tussen de flenzen vind je tussen de projecties op HD.

Opmerkingen

Verband roll en pitch met eulerhoeken.