Gebruiker:Madyno/Kladblok/Order statistic

$\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}$

$f_{n+1}-f_{n}-f_{n-1}=0$

differentievergelijking, dus

$f_{n0}=x^{n}$

$x^{2}-x-1=0$

$x={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}=(\varphi ,1-\varphi )$

$f_{n}=p\varphi ^{n}+q(1-\varphi )^{n}$

zowel

$\varphi ^{2}=\varphi +1$

als

$(1-\varphi )^{2}=(1-\varphi )+1$

voldoen

$f_{0}=0,f_{1}=1$

dus

$p+q=0$

$p\varphi -p(1-\varphi )=1$

$p\varphi -p(1-\varphi )={\frac {1}{2\varphi -1}}={\sqrt {5}}$

dus

$f_{n}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}},n=\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots$

$A=\sum _{k=a}^{b}A_{k}\varphi ^{k}$

$A=[A_{b}A_{b-1}\ldots A_{0}\ldots A_{a+1}A_{a}]_{F}$

$A_{k}\in \{0,1\}$

$B_{0}=B$

$B_{-1}=C$

$B_{m}=B_{m-1}+B_{m-2}$

??$A\cdot B=\sum _{k=a}^{b}A_{k}B_{k}$

$B_{0}=-0C+B$

$B_{-1}=+1C-0B$

$B_{-2}=-1C+1B$

$B_{-3}=+2C-1B$

$B_{-4}=-3C+2B$

$B_{-5}=+5C-3B$

$B_{-6}=-8C+5B$

$B_{-m}=(-1)^{m+1}f_{m}C+(-1)^{m}f_{m-1}B$

$B_{k}=(-1)^{1-k}f_{-k}C+(-1)^{-k}f_{-1-k}B$

$\sum _{k=a}^{b}A_{k}B_{k}=\sum _{k=a}^{b}A_{k}\left((-1)^{1-k}f_{-k}C+(-1)^{-k}f_{-1-k}B\right)=$

Twee delen:

$C\sum _{k=a}^{b}A_{k}(-1)^{1-k}f_{-k}$

en

$B\sum _{k=a}^{b}A_{k}(-1)^{-k}f_{-1-k}$

Nu is

$1+\varphi =\varphi ^{2}$

$1+\varphi ^{-1}=\varphi$

$\varphi ^{-1}=\varphi -1$

dus

${\sqrt {5}}\sum _{k=a}^{b}A_{k}(-1)^{1-k}f_{-k}=\sum _{k=a}^{b}A_{k}(-1)^{1-k}\left(\varphi ^{-k}-(1-\varphi )^{-k}\right)=\sum _{k=a}^{b}A_{k}(-1)^{1-k}\left((\varphi -1)^{k}-(-1)^{k}\varphi ^{k}\right)=$

$=-\sum _{k=a}^{b}A_{k}(-1)^{k}(\varphi -1)^{k}+\sum _{k=a}^{b}A_{k}\varphi ^{k}=A-\sum _{k=a}^{b}A_{k}(1-\varphi )^{k}=A-\sum _{k=a}^{b}A_{k}(-\varphi )^{-k}=$

Test

$2=[10{,}01]=\varphi +\varphi ^{-2}$

$(-\varphi )^{-1}+(-\varphi )^{2}=-\varphi ^{-1}+\varphi ^{2}=1-\varphi +1+\varphi =2$

$5=[1000{,}1001]=\varphi ^{3}+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-4}$

$-\varphi ^{-3}-\varphi +\varphi ^{4}=(1-\varphi )^{3}-\varphi +(1+\varphi )^{2}=1-3\varphi +3\varphi ^{2}-\varphi ^{3}-\varphi +1+2\varphi +\varphi ^{2}=$

$=2-2\varphi +4\varphi ^{2}-\varphi ^{3}=2-2\varphi +4(1+\varphi )-\varphi (1+\varphi )=6+2\varphi -\varphi -\varphi ^{2}=6+\varphi -(1+\varphi )=5$

klopt ook

Dus te bewijzen?:

$\sum _{k=a}^{b}A_{k}(1-\varphi )^{k}=\sum _{k=a}^{b}A_{k}\varphi ^{k}$

inductie naar A: $\sum _{n=c}^{d}(A+1)_{n}(1-\varphi )^{n}=\sum _{n=a}^{b}A_{n}(1-\varphi )^{n}+1=\sum _{n=a}^{b}A_{n}\varphi ^{n}+1=...$