Gebruiker:Patrick/retroazimutale projectie

en:Map_projection#Retroazimuthal

• en:Littrow projection - the only conformal retroazimuthal projection
• en:Hammer retroazimuthal projection - also preserves distance from the central point
• en:Craig retroazimuthal projection - also has vertical meridians

Algemeen

Een retroazimutale projectie is een kaartprojectie met een centraal punt B, zodanig dat voor elk punt A de kortste verbindingslijn over de bol naar B (een grootcirkelroute) in A een kompasrichting heeft die overeenkomt met de richting van een rechte lijn van A naar B op de kaart.

Als het centrale punt B bijvoorbeeld 0° W 0°N is dan is de nulmeridiaan op de kaart gewoon een verticale lijn. Van de 180°-meridiaan zou het noordelijke deel ergens recht onder B moeten lopen, en het zuidelijke deel ergens recht boven B, bijvoorbeeld als verlengingen van de nulmeridiaan. Analoog loopt de evenaar op de kaart van de tegenpool T van B via B naar T. T kan in alle richtingen liggen, op een contour of in het eindige.

Het is overigens niet zo dat de rechte lijn van A naar B op de kaart daarop de betreffende grootcirkelroute aangeeft. Bij het genoemde punt B, en A op het noordelijk halfrond, kan een grootcirkelroute bijvoorbeeld in westoostrichting beginnen, en dan qua kompasrichting naar rechts draaien en zo in B uitkomen. De rechte lijn van A naar B op de kaart loopt dan echter op zijn minst voor een deel over de evenaar.

Toepassingen: De betreffende kompasrichting is de Kibla (islam, centraal punt Mekka, 21° NB, 39° 50' OL) en de richting van de qiblih.

Kortste grootcirkelroute

en:Great-circle_navigation#Course

Figure 1. The great circle path between (φ₁, λ₁) and (φ₂, λ₂).

Bij de kortste grootcirkelroute van P₁ = (φ₁,λ₁) naar P₂ = (φ₂,λ₂) (zie de figuur, φ is breedte, positief naar het noorden, and λ lengte, posititief naar het oosten), worden de vertrekkoers α₁ en aankomstkoers α₂ gegeven door formulas for solving a spherical triangle

${\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}$

waarbij λ₁₂ = λ₂ − λ₁

De teller correspondeert met de relatieve mate van naar het oosten gaan, de noemer met de relatieve mate van naar het noorden gaan. De koers (met de klok mee vanaf het noorden) is atan2(teller, noemer).

Verwisseling van 1 en 2 in de teller en noemer van de eerste formule geeft de tegengestelden van de teller en noemer in de tweede formule. Dat correspondeert inderdaad met de tegengestelde richting.

Andere formule

Vergelijk Grootcirkelnavigatie:

$\cos AB=\sin \varphi _{A}\cdot \sin \varphi _{B}+\cos \varphi _{A}\cdot \cos \varphi _{B}\cdot \cos(L_{B}-L_{A})$.

De koers van afvaart GrK_afv kan bepaald worden met:

$K=\arccos {\frac {\sin \varphi _{B}-\sin \varphi _{A}\cdot \cos AB}{\cos \varphi _{A}\cdot \sin AB}}$

waarbij de koers gelijk is aan K als λ_B − λ_A > 0, anders geldt GrK = 360° − K.

Door A en B te verwisselen kan de koers van aankomst worden berekend waarbij de tegenkoers moet worden genomen van de uitkomst.

Littrow (hoekgetrouw)

De littrowprojectie is hoekgetrouw.

The projection transforms from latitude φ and longitude λ to map coordinates x and y via the following equations:

${\begin{aligned}x&=R{\frac {\sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}{\cos \varphi }}\\y&=R\cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\tan \varphi \end{aligned}}$

where R is the radius of the globe to be projected and λ₀ is the longitude desired for the center point.

De kompasrichting is de arctan van:

${\begin{aligned}x/y&={\frac {\tan \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}{\sin \varphi }}\end{aligned}}$

Any such conformal projection can be interpreted as holomorphic function between two Riemann surfaces. In this case, the Littrow projection has the form

$L:{\hat {\mathbb {C} }}\rightarrow \mathbb {C} ,\ L(z)=i{\frac {z^{2}-1}{2z}}$

(derivation is complicated) from the Riemann sphere ${\hat {\mathbb {C} }}$ (here taken as representing the surface of the Earth, with the South Pole at $z=0$ and the North Pole at $z=\infty$, the point $z=1$ is geographic coordinates 0N/S 0W/E, the unit circle $|z|=1$ is the Equator, and $\mathrm {arg} (z)$ increases as you go East. With that coordinate setup, the given function should produce the map shown unless we made a mistake somewhere.) to the plane, $\mathbb {C}$ (here taken as the sheet on which the map is to be projected). This function covers the plane twice, that is, the map actually is "doubled up" (so should really look like two maps superimposed with a transparency filter, if you will), thus its pullback, used to generate a legible world map, is given by

$L^{-1}(w)=-iw\pm {\sqrt {1-w^{2}}}$

taking in a point on the drawn map, $w$, and spitting out the geographical location of that point on the Earth, namely $L^{-1}(w)$. And you can see that is double-valued by virtue of the $\pm$. Depending on which sign you choose, you will get two partial maps or "leaves", with "seams" (which are branch cuts) as in the picture, depending on the ones chosen for the square root itself (usually, taken as cut along $(-\infty ,0]$). One of these maps is the one you see in the picture. The other one contains everything else it "misses", including India, Central Asia, and most of the Americas.

EDIT: India is rechts te zien, for the most part -- just very distorted and scrunched up near one of the two branch singularities. Look very closely at the right singularity -- where that arc of the Himalayas is, and to the left of that, you can see it. Bangladesh and the easternmost part of India (Arunachal Pradesh, etc.) are not, though, they slipped across the right branch cut onto the other leaf.

Alle grootcirkels van T naar B lopen halverwege westoost of oostwest. De zwarte lijn links, benaderd van boven, bestaat uit die punten halverwege, op 90°W, op het noordelijk halfrond, en benaderd van onder, op het zuidelijk halfrond. Rechts analoog. Het andere halfrond van meer dan 90° W en O staat niet op de kaart, grote gebieden rond de polen ook niet.

Hammer (radiaal afstandsgetrouw)

All distances from the center of the map are proportional to what they are on the globe. In whole-world presentation, the back and front hemispheres overlap, making the projection a non-injective function. The back hemisphere can be rotated 180° to avoid overlap, but in this case, any azimuths measured from the back hemisphere must be corrected.

Given a radius R for the projecting globe, the projection is defined as:

${\begin{aligned}x&=RK\cos \varphi _{1}\sin(\lambda -\lambda _{0})\\y&=-RK{\big (}\sin \varphi _{1}\cos \varphi -\cos \varphi _{1}\sin \varphi \cos(\lambda -\lambda _{0}){\big )}\end{aligned}}$

where

$K={\frac {z}{\sin z}}$

and

$\cos z=\sin \varphi _{1}\sin \varphi +\cos \varphi _{1}\cos \varphi \cos(\lambda -\lambda _{0})$

The latitude and longitude of the point to be plotted are φ and λ respectively, and the center point to which all azimuths are to be correct is given as φ₁ and λ₀.

De kompasrichting is de arctan van:

${\begin{aligned}x/y&=-{\frac {\cos \varphi _{1}\sin(\lambda -\lambda _{0})}{\sin \varphi _{1}\cos \varphi -\cos \varphi _{1}\sin \varphi \cos(\lambda -\lambda _{0})}}\end{aligned}}$

Vergelijk het bovengenoemde, met centrum op de evenaar:

${\begin{aligned}x/y&={\frac {\tan \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}{\sin \varphi }}\end{aligned}}$

en het onderstaande:

De kompasrichting is de arctan van:

${\begin{aligned}x/y&={\frac {\sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}{\sin \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)-\tan \varphi _{0}\cos \varphi }}\end{aligned}}$

Given latitude φ to plot, latitude φ₀ of the fixed location of interest, longitude λ to plot, and the longitude λ₀ of the fixed location of interest, the projection is defined by:

(..)

But when λ − λ₀ = 0, y above is undefined, so instead use the ratio's continuous completion:

$y=\sin \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)-\tan \varphi _{0}\cos \varphi =\sin \varphi -\tan \varphi _{0}\cos \varphi$

The front hemisphere of the Hammer retroazimuthal projection. 15° graticule; center point at 45°N, 90°W.

The back hemisphere of the Hammer retroazimuthal projection. 15° graticule; center point at 45°N, 90°W.

The full Hammer retroazimuthal projection met centrum Mekka (21° NB, 39° 50' OL), with Tissot's indicatrix of deformation. Back hemisphere has been rotated 180° to avoid overlap.

Craig (cilindrisch)

Craig met centrum Mekka (21° NB, 39° 50' OL)

Given latitude φ to plot, latitude φ₀ of the fixed location of interest, longitude λ to plot, and the longitude λ₀ of the fixed location of interest, the projection is defined by:

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&={\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}}{\Big (}\sin \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)-\tan \varphi _{0}\cos \varphi {\Big )}\end{aligned}}$

But when λ − λ₀ = 0, y above is undefined, so instead use the ratio's continuous completion:

$y=\sin \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)-\tan \varphi _{0}\cos \varphi =\sin \varphi -\tan \varphi _{0}\cos \varphi$