zijn gehele getallen.
is een priemgetal.
Beschouw als representant van alle gehele getallen die niet deelbaar zijn door .
Voor alle gehele getallen die niet deelbaar zijn door geldt: is deelbaar door .
are whole numbers.
p is a prime number.
Here is the proof that is divisible by .
The following is worth mentioning..
is divisible by .
Hier volgt het bewijs dat deelbaar is door .
Het volgende is het vermelden waard.
is deelbaar door .
Is deelbaar door ?[bewerken | brontekst bewerken]
en zijn gehele getallen.
is een priemgetal.
Voor is de bewering waar.
Laten we aannemen dat de volgende bewering voor het getal waar is:
Dan moet deze bewering ook waar zijn voor het getal .
De bewering i s waar.
Hieruit volg: .[bewerken | brontekst bewerken]
De bewering is dat
De bewering is is waar.
zijn gehele getallen..
is een priemgetal.
Is deelbaar door .
Het volgende is het vermelden waard.
is deelbaar door p.
are whole numbers.
is a prime number.
You choose a random number .
Then there is always a number
is divisible by .
Is A^(p-1)-B^(p-1) divisible by p? A different path[bewerken | brontekst bewerken]
are whole numbers.
is a prime number.
There is a number and there is a number .
is divisible by .
Quod erat demonstrandum
Inductie stap een.
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
{
Voor geldt
Inductie stap twee.
Voor een zeker getal geldt:
Inductie stap drie.
Het getal is gelijk aan:
Het getal is gelijk aan:
Dan volgt daaruit:
Elk getal kunnen we schrijven als
moet een p-voud zijn.
Elk getal kan worden geschreven als
moet een p-voud zijn.
Inductiestap een.
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
Voor is de stelling waar.
Inductiestap twee
We nemen de waarheid van de stelling voor een zeker getal aan.
Dus:
Inductiestap drie.
De stelling is dus juist.
Een alternatief.
De stelling is dus juist.
Elk getal kan worden geschreven als
moet een p-voud zijn.
Stap een.
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
Voor is de stelling waar.
Stap twee
Stel dat:
We gaan er vanuit dat en beiden niet deelbaar zijn door .
en zijn gehele getallen. en zijn resten na deling door .
Een stap verder.
Wederom gaan we er vanuit dat en beiden niet deelbaar zijn door .
en zijn gehele getallen. is de rest na deling door .
is nul, dus zijn en beiden deelbaar door .
is een positief geheel getal.
Op basis van bovenstaande berekeningen komen we voor tot de volgende formule:
Het volgende is niet meer dan een vermoeden:
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
Voor is de stelling waar.
Conclusie:
Hiermee is tevens bewezen dat:
.
is een geheel getal.
Is deelbaar door ,
Inductiestap 1.
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
Voor is de stelling waar.
Inductiestap 2.
We nemen de waarheid van de stelling aan.
is een geheel getal. Bij gevolg is ook een geheel getal.
Inductiestap 3.
is een geheel getal en is een geheel getal.
Dus is ook een geheel getal.
De factor is een geheel getal, dus is deelbaar door .
are whole numbers.
p is a prime number.
Here is the proof that is divisible by .
The following is worth mentioning..
is divisible by .
Qud erat demonstrandum
Functions I used to check my findings in Excel.
Public Function Nbk(y As Integer, z As Integer) As Double
Nbk = Application.WorksheetFunction.Combin(y, z)
End Function
Public Function Nadine(A As Integer, p As Integer) As Double
Dim k As Integer
Dim q As Integer
q = A - p
For k = 0 To p - 1
Nadine = Nadine + Nbk(p - 1, k) * p ^ (p - 2 - k) * (q ^ k - (-p + 1) ^ k)
Next k
End Function
The numbers are positive whole numbers.
Is divisible by ?
For we may write down .
is a whole number.
Modulo rekenen met positieve c.q. negatieve getallen[bewerken | brontekst bewerken]
wil zeggen de hele waarde van , de entier van .
Als dan:
Als dan:
Twee rekenvoorbeelden.
Bewijs dat:
Inductiestap een:
Voor is de bewering waar.
Inductiestap twee:
We nemen aan dat de bewering voor waar is:
Dus:
Inductiestap drie:
We onderzoeken of de bewering voor waar is.
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
De bewering is waar voor .
Dus de bewering is dus waar.
QED.
Voor het genereren van Pythagorese drietallen zijn er een zestal formules.
Voor de even waarden :
Vult men de waarde in, dan vindt men , ,
Voor de oneven waarden :
Vult men de waarde in, dan vindt men , ,
is geen deler van .
.
is een priemgetal.
Het onderstaande getallenvoorbeeld is gekozen om aan te tonen dat bij deling door een getal anders dan p=3
er een rest en een rest ontstaan. Deze resten zullen blijken ongelijk te zijn.
en zijn ten opzichte van elkaar isomorf.
Als niet deelbaar is door dan ontstaat er een rest .
is dan automatisch niet deelbaar door en geeft dan als rest .
Omdat en dan altijd ongelijk zijn geldt :
Dus kan nooit als
Als echter wel deelbaar is door dan is de rest
Automatisch is dan ook deelbaar door , rest .
In dat geval is:
Als
1)
2) Als:
Als
Als dan kan in dat geval nooit gelijk zijn aan .
We hebben gevonden dat , (zie 1) Dit kan alleen maar zo zijn als. (zie 2)
Zowel als zijn dus deelbaar door .
In een rechthoekige driehoek met een schuine zijde geldt:
De hypotenusa is:
geldt voor elke willekeurige hoek .
Bovenstaande formule geldt voor willekeurige hoeken en .
Een getallenvoorbeeld:
Bovenstaande formule geldt voor willekeurige hoeken en .
Een getallenvoorbeeld:
Voor elke rechthoekige driehoek (hypotenusa c=1) geldt:
Bovenstaande formule geldt voor willekeurige hoeken en .
Een getallenvoorbeeld:
Bovenstaande formule geldt voor willekeurige hoeken en .
Een getallenvoorbeeld:
Uit nevenstaande afbeelding "lezen" we het volgende af: